Bài tập 4, § 2

Một không gian metric $X$ được gọi là một không gian ultrametric nếu metric của nó $d$ thỏa mãn bất đẳng thức

với mọi $x, y, z$ thuộc $X$ (điều này kéo theo bất đẳng thức tam giác) (xem § 6, Bài tập 2).

a) Nếu $d(x, z) \neq d(y, z)$, hãy chứng minh rằng $d(x, y) = \sup(d(x, z), d(y, z))$.

b) Gọi $V_r(x)$ là quả cầu mở tâm $x$ bán kính $r$. Hãy chứng minh rằng $V_r(x)$ vừa mở vừa đóng trong $X$ (và do đó $X$ là hoàn toàn rời rạc) và rằng với mỗi $y \in V_r(x)$ ta có $V_r(y) = V_r(x)$.

c) Hãy chứng minh rằng quả cầu đóng $W_r(x)$ tâm $x$ bán kính $r$ vừa mở vừa đóng trong $X$, và rằng với mỗi $y \in W_r(x)$ ta có

Các quả cầu mở phân biệt bán kính $r$ được chứa trong $W_r(x)$ tạo thành một phân hoạch của $W_r(x)$, và khoảng cách giữa bất kỳ cặp nào trong các quả cầu này bằng $r$.

d) Nếu hai quả cầu (mở hoặc đóng) của $X$ giao nhau, thì một quả cầu được chứa trong quả cầu kia.

e) Một dãy $(x_n)$ các điểm của $X$ là một dãy Cauchy khi và chỉ khi $d(x_n, x_{n+1})$ dần tới 0 khi $n$ dần tới vô hạn.

f) Nếu $X$ là compact, hãy chứng minh rằng với mỗi $x_0 \in X$, tập hợp các giá trị của $d(x_0, x)$ trong $X$ là một tập con đếm được (hữu hạn hoặc vô hạn) của $[0, +\infty]$, trong đó mọi điểm, ngoại trừ có thể là 0, đều là cô lập [với mỗi giá trị $r$ nhận bởi $d(x_0, x)$, xét cận trên nhỏ nhất của $d(x_0, x)$ trên tập hợp các điểm mà $d(x_0, x) < r$, và cận dưới lớn nhất của nó trên tập hợp các điểm mà $d(x_0, x) > r$].