Exercice 4, § 2

On dit qu’un espace métrique $X$ est un espace ultramétrique si la distance $d$ qui le définit satisfait à l’inégalité

quels que soient $x, y, z$ (cf. IX, p. 118, exerc. 4). a) Si $d(x, z) \neq d(y, z)$ montrer que $d(x, y) = \sup (d(x, z), d(y, z))$. b) Soit $V_r(x)$ la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r$; montrer que $V_r(x)$ est un ensemble à la fois ouvert et fermé dans $X$ (et par suite que $X$ est totalemen discontinu), et que pour tout $y \in V_r(x)$, on a $V_r(y) = V_r(x)$. c) Montrer que la boule fermée $W_r(x)$ de centre $x$ et de rayon $r$ est un ensemble à la fois ouvert et fermé dans $X$; pour tout $y \in W_r(x)$, on a $W_r(y) = W_r(x)$. Les boules ouvertes distinctes de rayon $r$, contenues dans $W_r(x)$, forment une partition de $W_r(x)$; la distance de deux quelconques d’entres elles est égale à $r$. d) Si deux boules (ouvertes ou fermées) de $X$ ont un point commun, l’une est contenue dans l’autre. e) Pour qu’une suite $(x_n)$ de points de $X$ soit une suite de Cauchy, il faut et il suffit que $d(x_n, x_{n+1})$ tende vers 0 lorsque $n$ croît indéfiniment. f) Si $X$ est compact, montrer que, pour tout $x_0 \in X$, l’ensemble des valeurs de $d(x_0, x)$ dans $X$ est une partie dénombrable (finie ou infinie) de $(0, +\infty)$, dont tous les points à l’exception éventuelle de 0, sont des points isolés (pour toute valeur $r$ prise par $d(x_0, x)$, considérer la borne supérieure de $d(x_0, x)$ sur l’ensemble des points où $d(x_0, x) < r$, et sa borne inférieure sur l’ensemble des points où $d(x_0, x) > r$).