Bài tập 4, § 3

Trên mọi nhóm tôpô $G$ tồn tại một họ giả mêtric bất biến trái sao cho tính đều được xác định bởi họ này trùng với tính đều trái của $G$.

2) Cho $G$ là một nhóm tôpô mà tính đều trái và phải trùng nhau. Chứng minh rằng tính đều duy nhất này có thể được định nghĩa bởi một họ các giả mêtric đồng thời bất biến trái và phải (sử dụng Bài tập 3 của Chương III, § 3, chứng minh rằng nếu $V$ là một lân cận bất kỳ của phần tử đơn vị $e$ của $G$, thì $V_0 = \bigcap_{x \in G} xVx^{-1}$ là một lân cận của $e$).

3) Cho $G$ là một nhóm tôpô, cho $\{f_i\}$ là một họ bão hòa các giả mêtric bất biến trái trên $G$ định nghĩa tính đều trái của $G$, và cho $g_i(x) = f_i(e, x)$. Cho $H$ là một nhóm con chuẩn đóng của $G$, và với mỗi lớp kề $x \in G/H$ cho $h_i(x) = \inf_{x \in x} g_i(x)$; chứng minh rằng, nếu $f_i(x, y) = h_i(x^{-1}y)$, các $f_i$ tạo thành một họ các giả mêtric bất biến trái trên $G/H$ định nghĩa tính đều trái của $G/H$ (lập luận như trong Nhận xét 2 của no. 1').

4) Chứng minh rằng tôpô của một trường chia có giá trị là địa phương phản bị chặn (Chương III, § 6, Bài tập 22).

\* § 5) Cho $\omega$ là một giá trị tuyệt đối trên trường $\mathbf{Q}$ của các số hữu tỉ. a) Chứng minh rằng $\omega$ được xác định duy nhất bởi các giá trị của nó tại các số nguyên tố. b) Nếu có một số nguyên tố $p$ sao cho $\omega(p) \leq 1$, chứng minh rằng $\omega(q) \leq 1$ với mọi số nguyên tố khác $q$ [tìm một cận trên cho $\omega(q^n)$ bằng cách viết $q^n$ theo cơ số của $p$, và cho $n \to \infty$]. c) Nếu tồn tại một số nguyên tố $p$ sao cho $\omega(p) < 1$, chứng minh rằng $\omega(q) = 1$ với mọi số nguyên tố khác $q$ [chứng minh rằng không thể có $\omega(q) < 1$, bằng cách sử dụng sự kiện rằng với mỗi số nguyên $n > 0$ tồn tại hai số nguyên hữu tỉ $r$ và $s$ sao cho $1 = rp^n + sq^n$]. Suy ra rằng $\omega$ khi đó là một giá trị tuyệt đối tương đương với giá trị tuyệt đối $p$-adic trên $\mathbf{Q}$. d) Nếu $\omega(p) > 1$ với mọi số nguyên tố $p$, chứng minh rằng nếu $p$ và $q$ là hai số nguyên tố bất kỳ, thì

[phương pháp tương tự như trong b)]. Suy ra rằng trong trường hợp này $\omega(x) = |x|^p$ với một $p \leq 1$. \*

6) Cho $E$ là một không gian vectơ trái trên một vành chia $K$, với một cơ sở đếm được $(a_n)$. Cho $(r_n)$ là một dãy giảm các số $> 0$, tiến tới $0$. Với mỗi $x = \sum_k t_k a_k \neq 0$ của $E$, đặt $||x|| = r_h$ trong đó $h$ là nhỏ nhất trong các chỉ số $k$ sao cho $t_k \neq 0$, và đặt $||0|| = 0$. Chứng minh rằng $||x - y||$ là một mêtric bất biến trên nhóm cộng $E$, và rằng tôpô mà nó xác định trên $E$ không phụ thuộc vào dãy $(r_n)$ (giảm và tiến tới $0$) được chọn. Từ đó chứng minh rằng nếu các định nghĩa của chuẩn và không gian chuẩn (các Định nghĩa 5 và 6) được mở rộng sang trường hợp giá trị tuyệt đối trên các vô hướng là không đúng, thì Mệnh đề 7 và Định lý 1 không còn đúng nữa.

7) Cho $E$ là một không gian chuẩn trên một vành chia có giá trị. Chứng minh rằng nếu mọi họ khả tổng tuyệt đối trong $E$ đều khả tổng trong $E$, thì $E$ là đầy đủ. [Cho $(x_n)$ là một dãy Cauchy trong $E$, và xét một dãy con $(x_{n_k})$ của $(x_n)$ sao cho chuỗi có số hạng tổng quát là $x_{n_{k+1}} - x_{n_k}$ là hội tụ tuyệt đối.]

8) Cho một ví dụ về một họ khả tổng nhưng không khả tổng tuyệt đối trong trường $\mathbf{Q}_p$ các số $p$-adic. [Chứng minh rằng một họ $(x_i)_{i \in I}$ các điểm của $\mathbf{Q}_p$ là khả tổng khi và chỉ khi $\lim x_i = 0$ đối với bộ lọc các phần bù của các tập con hữu hạn của $I$.]

9) Một ánh xạ $w$ của một vành $A$ vào $\mathbf{R}_+$ được gọi là một giá trị tuyệt đối nửa trên $A$ nếu nó thỏa mãn các điều kiện : (i) $w(0) = 0$; (ii) $w(x-y) \leq w(x) + w(y)$;

(iii) $w(xy) \leq w(x)w(y)$. Giá trị tuyệt đối nửa $w$ được gọi là Hausdorff nếu $w(x) = 0$ kéo theo $x = 0$. Nếu $w$ là một giá trị tuyệt đối nửa Hausdorff trên $A$, thì $w(x - y)$ là một mêtric bất biến trên nhóm cộng của $A$, và do đó xác định một tôpô tương thích với cấu trúc nhóm cộng của $A$. Khái quát hóa các tính chất chính của các đại số chuẩn, đặc biệt là Mệnh đề 13, cho các vành được trang bị một giá trị tuyệt đối nửa.

Nếu $w$ là một giá trị nửa tuyệt đối không Hausdorff trên $A$, tập hợp $\overline{w}(0)$ là một iđêan hai phía $a$ trong $A$; nếu ta trang bị cho $A$ tôpô được xác định bởi giả mêtric $w(x - y)$, thì tôpô này tương thích với cấu trúc vành của $A$, và không gian Hausdorff liên kết với $A$ là vành thương $A/a$, trên đó hàm $\overline{w}(\bar{x})$, mà đối với mỗi $\bar{x}$ mod $a$ bằng giá trị chung của $w(x)$ với mọi $x \in \bar{x}$, là một giá trị nửa tuyệt đối Hausdorff được gọi là liên kết với $w$; tôpô được xác định bởi $\overline{w}$ là thương bởi $a$ của tôpô của $A$.

(9.10) a) Hai giá trị nửa tuyệt đối $w_1, w_2$ trên một vành $A$ được gọi là tương đương nếu các giả mêtric $w_1(x - y), w_2(x - y)$ là tương đương. Chứng minh rằng, nếu $w$ là một giá trị nửa tuyệt đối trên $A$, thì $aw$ và $w^{1/a}$ là các giá trị nửa tuyệt đối tương đương với $w$ với mọi số thực $a \geq 1$.

b) Nếu $w_i$ ($1 \leq i \leq n$) là các giá trị nửa tuyệt đối trên một vành $A$, các hàm $w = \sum_i w_i$ và $w' = \sup_i w_i$ là hai giá trị nửa tuyệt đối tương đương trên $A$. Nếu

thì $a = \bigcap_i a_i$. Nếu $A_i$ là phần đầy đủ của vành thương $A/a_i$ được trang bị giá trị nửa tuyệt đối Hausdorff liên kết với $w_i$, chứng minh rằng $A/a$ được trang bị giá trị nửa tuyệt đối Hausdorff liên kết với $w$ là đẳng cấu với một vành con của vành tích $\prod_i A_i$; chứng minh rằng (giả sử rằng $A$ có một phần tử đơn vị 1) vành này trù mật trong $\prod_i A_i$ khi và chỉ khi các $w_i$ thỏa mãn điều kiện sau: với mỗi $\varepsilon > 0$ và với mỗi chỉ số $i$, tồn tại một phần tử $x_i \in A$ sao cho $w_i(1 - x_i) \leq \varepsilon$ và $w_k(x_i) \leq \varepsilon$ với mỗi chỉ số $k \neq i$.

11) Cho $A$ là một vành được trang bị một giá trị nửa tuyệt đối Hausdorff, và giả sử rằng $A$ có một phần tử đơn vị và đầy đủ đối với tôpô được xác định bởi giá trị nửa tuyệt đối. Chứng minh rằng mọi iđêan cực đại của $A$ là đóng (sử dụng Mệnh đề 13).

(9.12) Cho $K$ là một vành chia tôpô Hausdorff không rời rạc, và cho $\varphi : K \to \mathbf{R}_+$ là một ánh xạ sao cho $\varphi(0) = 0, \varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)$ và sao cho nếu $V_n$ ký hiệu tập hợp tất cả các $x \in K$ sao cho $\varphi(x) \leq 1/n$, thì các tập hợp $V_n$ tạo thành một hệ lân cận cơ bản của $0$ trong $K$.

a) Chứng minh rằng tồn tại một số thực $a > 0$ sao cho, với mọi $x \in K$,

[nếu không, sẽ tồn tại một dãy $(x_n)$ các điểm của $K$ sao cho cả $(1 + x_n)^{-1}$ và $x_n(1 + x_n)^{-1}$ đều tiến tới không]. Suy ra rằng nếu $\psi(x) = (\varphi(x))^{\alpha}$ thì ta có với $\alpha$ đủ nhỏ.

b) Chứng minh rằng nếu $n = 2^p$ thì ta có $\psi \left( \sum_{i=1}^n x_i \right) \leq n \sup (\psi(x_i))$, và suy ra rằng với mọi số nguyên $m > 0$ ta có $\psi(m) \leq 2m$.

c) Suy ra từ b) rằng với mọi $n = 2^p$ và mọi $x \in K$ ta có $\psi((1 + x)^{n-1}) \leq 2n(1 + \psi(x))^{n-1}$, và do đó $\psi$ là một giá trị tuyệt đối trên $K$ xác định tôpô của $K$.

§ 13) Cho $K$ là một vành chia tôpô Hausdorff không rời rạc. Cho $R$ là tập hợp tất cả các $x \in K$ sao cho $\lim_{n \to \infty} x^n = 0$, và cho $N$ là phần bù của tập hợp $R \cup R^{-1}$. Chứng minh rằng tồn tại một giá trị tuyệt đối trên $K$ xác định tôpô của $K$ khi và chỉ khi (i) $R$ là mở trong $K$; (ii) với mỗi lân cận $V$ của $0$ trong $K$, tồn tại một lân cận $U$ của $0$ trong $K$ sao cho $R.U \subset V$; và (iii) nếu $x \in R$ và $y \in R \cup N$, thì $yx \in R$.

Để chứng minh rằng các điều kiện này là đủ, hãy chứng minh lần lượt rằng: a) $N$ là một nhóm con chuẩn của nhóm nhân $K^*$ gồm các phần tử khác không của $K$. b) Trong nhóm thương $K^*/N$, đặt $\dot{x} \leq \dot{y}$ nếu tồn tại $x \in \dot{x}$ và $y \in \dot{y}$ sao cho $yx^{-1} \in R \cup N$; chứng minh rằng quan hệ này là một thứ tự tương thích với cấu trúc nhóm của $K^*/N$, và rằng nhóm có thứ tự được xác định như vậy là đẳng cấu với một nhóm con của nhóm cộng $\mathbf{R}$ (sử dụng Bài tập 1 của chương V, § 3). c) Hoàn thành chứng minh với sự trợ giúp của Bài tập 12. Đặc biệt, tôpô của một trường tôpô địa phương compact không rời rạc có thể được xác định bởi một giá trị tuyệt đối.