Điều kiện này rõ ràng là cần. Ngược lại, nếu nó được thỏa mãn, lấy $(V_n)$ là một hệ cơ bản các lân cận của $e$; nếu $U_n$ ký hiệu tập hợp các cặp $(x, y) \in G \times G$ sao cho $x^{-1}y \in V_n$, thì các $U_n$ tạo thành một hệ cơ bản đếm được các lân cận của uniformity trái của $G$; vì uniformity này là Hausdorff, theo § 2, no. 4, Định lý 1, suy ra rằng nó có metric. Tương tự đối với uniformity phải của $G$.

Một nhóm tôpô $G$ được gọi là có metric nếu tôpô của nó có metric. Khi đó Mệnh đề 1 cho thấy rằng hai uniformity của nó đều có metric.

Kết quả này có thể được làm mạnh hơn nhờ khái niệm sau đây:

Giả sử rằng hệ cơ bản $(V_n)$ các lân cận của $e$ gồm các lân cận đối xứng sao cho $V_{n+1}^3 \subset V_n$ với mỗi $n$. Khi đó các entourage tương ứng $U_n$ của uniformity trái là các entourage đối xứng sao cho $U_{n+1} \subset U_n$. Phương pháp được sử dụng trong chứng minh Mệnh đề 2 của § 1, no. 4 cho phép ta xây dựng, từ dãy các entourage $(U_n)$, một metric $d$ trên $G$ tương thích với uniformity trái của $G$; và vì với mỗi $z \in G$, ánh xạ $(x, y) \to (zx, zy)$ giữ bất biến từng $U_n$, định nghĩa của $d$ cho thấy rằng nó là một metric bất biến trái. Phương pháp này cũng áp dụng cho uniformity phải.

Chú ý rằng, nếu hai uniformity của $G$ phân biệt, metric $d$ không bất biến phải, và do đó nói chung $d(x^{-1}, y^{-1}) \neq d(x, y)$.

Đặc biệt, nếu $G$ là một nhóm Abel có metric, uniformity của nó được xác định bởi một metric bất biến $d$: nếu $G$ được viết theo phép cộng, ta có

Ta thường viết $|x|$ (hoặc $||x|$) cho $d(0, x)$; khi đó ta có

Hàm $|x|$ thỏa mãn ba điều kiện sau:

a) $|-x| = |x|$ với mọi $x \in G$.

b) $|x + y| \leq |x| + |y|$ với mọi $x \in G$ và mọi $y \in G$.

c) $|x| = 0$ khi và chỉ khi $x = 0$.

Ngược lại:

Hàm $d(x, y)$ là một mêtric trên $G$, vì quan hệ $d(x, y) = 0$ tương đương với $x = y$ theo c); ta có $d(x, y) = d(y, x)$ theo a); và

theo b). Hơn nữa, $d$ là bất biến, vì $(x + z) - (y + z) = x - y$. Với mỗi số thực $x > 0$, gọi $V_x$ là tập hợp tất cả các $x \in G$ sao cho $|x| < x$; khi đó các $V_x$ tạo thành một hệ cơ bản $\mathfrak{S}$ các lân cận của $0$ đối với tôpô $\mathscr{T}$, và vì $d$ là bất biến, $a + \mathfrak{S}$ là một hệ cơ bản các lân cận của $a$ đối với tôpô $\mathscr{T}$, với mỗi $a \in G$. Theo a), các $V_x$ là đối xứng, và theo b), ta có $V_a + V_x \subset V_{2a}$; do đó tôpô $\mathscr{T}$ tương thích với cấu trúc nhóm của $G$ (Chương III, § 1, no. 2). Phần cuối của mệnh đề suy ra ngay lập tức.

Các điều kiện a', b' và c' tương đương với c) cùng với điều kiện

Vì a' và b' rõ ràng kéo theo b'); ngược lại, lấy $x = 0$ trong b') và sử dụng c), ta thấy rằng $|-y| \leq |y|$; thay thế $y$ bởi $-y$ ta suy ra $|-y| = |y|$, đó là a); thay thế $y$ bởi $-y$ trong b') khi đó ta được b').

Phần đầu của mệnh đề là một hệ quả của sự kiện rằng phần tử đơn vị của G/H có một hệ cơ bản đếm được các lân cận trong G/H; vì nếu (V_n) là một hệ cơ bản các lân cận của e trong G, thì các ảnh chính tắc $\dot{V}_n$ của các tập hợp V_n trong G/H tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của phần tử đơn vị của G/H (Chương III, § 2, no. 6, Mệnh đề 17).

Để chỉ ra rằng G/H là đầy đủ nếu G là đầy đủ, theo § 2, no. 6, Mệnh đề 9, chỉ cần chỉ ra rằng mọi dãy Cauchy $(\dot{x}_n)$ (đối với đồng đều trái của G/H) đều hội tụ. Ta có thể giả sử, bằng cách chuyển qua một dãy con của $(\dot{x}_n)$ nếu cần, rằng với mỗi cặp chỉ số $p, q$ sao cho $p \geq n$ và $q \geq n$, ta có $\dot{x}_p^{-1}\dot{x}_q \in \dot{V}_n$; điều này có nghĩa là với mỗi cặp điểm $y \in \dot{x}_p, z \in \dot{x}_q$, ta có $y^{-1}z \in HV_n = V_nH$; và do đó, với mỗi $y \in \dot{x}_p$, giao của $\dot{x}_q$ và lân cận $yV_n$ của $y$ là không rỗng. Khi đó giả sử rằng dãy (V_n) đã được chọn sao cho $V_{n+1}^2 \subset V_n$, và định nghĩa quy nạp một dãy $(x_n)$ các điểm của G, sao cho $x_n \in \dot{x}_n$ và $x_{n+1} \in x_n V_n$; điều này có thể thực hiện được theo điều đã nói. Suy ra theo quy nạp rằng với mỗi $p > 0$ ta có $x_{n+p} \in x_n V_n V_{n+1} \ldots V_{n+p-1} \subset x_n V_{n-1}$. Do đó dãy $(x_n)$ là một dãy Cauchy trong G, nên nó hội tụ đến một điểm $a$; và suy ra ngay lập tức rằng ảnh chính tắc $\dot{a}$ của $a$ trong G/H là giới hạn của dãy $(\dot{x}_n)$.

H là một nhóm con chuẩn của G (Chương III, § 2, no. 3, Mệnh đề 8) và Mệnh đề 4 chỉ ra rằng G/H là đầy đủ. Hơn nữa nếu $\varphi$ là ánh xạ chính tắc của G lên G/H, thì rõ ràng rằng $\varphi(G_0)$ là trù mật trong G/H. Kết quả do đó suy ra từ Chương III, § 2, no. 7, Mệnh đề 21.

Cho G, G' là hai nhóm tôpô Abel Hausdorff, và $\hat{G}, \hat{G}'$ là các phép đầy đủ tương ứng của chúng. Ta nhắc lại (Chương III, § 3, no. 3, Mệnh đề 5) rằng nếu $u$ là một đồng cấu liên tục của G vào G', thì $u$ là đồng đều liên tục và mở rộng duy nhất thành một đồng cấu liên tục của $\hat{G}$ vào $\hat{G}'$, mà ta sẽ ký hiệu là $\hat{u}$ trong phần còn lại

(*) Tồn tại các nhóm đầy đủ không mêtric G chứa một nhóm con đóng H sao cho G/H không đầy đủ.

của tiểu mục này. Biểu đồ

trong đó $i, i'$ là các đơn ánh chính tắc) là giao hoán. Nếu $v$ là một đồng cấu liên tục của $G'$ vào một nhóm tôpô Abel Hausdorff $G''$, và nếu $w = v \circ u$, thì ngay lập tức suy ra rằng $\hat{w} = \hat{v} \circ \hat{u}$.

Cho $H$ là một nhóm con đóng của $G$ và cho $E = G/H$. Gọi $j : H \to G$ và $p : G \to E$ là các ánh xạ chính tắc. Gọi $\overline{H}$ là bao đóng của $H$ trong $\hat{G}$; $\overline{H}$ là một nhóm đầy đủ và ta đồng nhất nó với phép đầy đủ $\hat{H}$ của $H$. Mở rộng liên tục $\hat{j}$ của $j$ đến $\hat{H}$ hiển nhiên là đơn ánh chính tắc của $\hat{H}$ vào $\hat{G}$.

Giả sử từ nay $G$ là mêtric hóa được. Khi đó ánh xạ chính tắc của $E = GH$ vào $\hat{G}\hat{H}$ là một đẳng cấu tôpô của $E$ lên một nhóm con trù mật của nhóm đầy đủ $\hat{G}/\hat{H}$ (Hệ quả 1), và do đó ta có thể đồng nhất $\hat{G}\hat{H}$ với $\hat{E}$ và mở rộng liên tục $\hat{p}$ của $p$ lên $\hat{G}$ với ánh xạ chính tắc của $\hat{G}$ lên $\hat{G}/\hat{H}$.

Cho $u = j \circ v \circ p$ là phân tích nhân tử chính tắc của $u$, trong đó $v$ là một đẳng cấu của nhóm tôpô $G/N$ lên nhóm tôpô $u(G) = P$. Ta có $\hat{u} = \hat{j} \circ \hat{v} \circ \hat{p}$, và ta đã thấy rằng $\hat{p}$ là ánh xạ chính tắc của $\hat{G}$ lên $\hat{G}\hat{N}$, và rằng $\hat{j}$ là ánh xạ chính tắc của $\hat{P}$ vào $\hat{G}$. Mặt khác, $\hat{v}$ là một đẳng cấu của $\hat{G}/\hat{N}$ lên $\hat{P}$ (Chương III, § 3, no. 4, Mệnh đề 5), do đó có kết quả.

Thật vậy, nếu đặt $N = u(G) = \overline{v}(0)$, thì từ Hệ quả 2 suy ra $\hat{N}$ vừa là ảnh của $\hat{u}$ vừa là hạt nhân của $\hat{v}$.

Điều kiện này là cần thiết, vì tập hợp tất cả các $x \in K$ sao cho $|x|_1 < 1$ trùng với tập hợp tất cả các $x$ sao cho, đối với tôpô được định nghĩa bởi giá trị tuyệt đối $|x|_1$, $\lim_{n \to \infty} x^n = 0$.

Giả sử ngược lại rằng $|x|_1 < 1 \Longrightarrow |x|_2 < 1$. Khi đó $|x|_1 > 1 \Longrightarrow |x|_2 > 1$, bởi vì $|x^{-1}|_1 < 1$ và do đó $|x^{-1}|_2 < 1$. Vì theo giả thiết giá trị tuyệt đối $|x|_1$ không tầm thường, tồn tại $x_0 \in K$ sao cho $|x_0|_1 > 1$. Đặt $a = |x_0|_1, b = |x_0|_2$ và đặt $\rho = \log b / \log a > 0$. Cho $x \in K^*$ và đặt $|x|_1 = |x_0|_1^\gamma$. Nếu $m$ và $n$ là các số nguyên sao cho $n > 0$ và $m/n > \gamma$, thì $|x|_1 < |x_0|_1^{m/n}$, và do đó $|x^n x_0^{-m}|_1 < 1$; suy ra $|x^n x_0^{-m}|_2 < 1, |x|_2 < |x_0|_2^{m/n}$. Tương tự, nếu $m/n < \gamma$, ta thấy rằng $|x|_2 > |x_0|_2^{m/n}$; do đó suy ra $|x|_2 = |x_0|_2^\gamma$; nói cách khác

tức là, $|x|_2 = |x|^p_1$. Bây giờ rõ ràng là các lân cận của không đối với các tôpô được xác định trên $K$ bởi $|x|_1$ và $|x|_2$ là đồng nhất.

Ngược lại, nếu $|x|$ là một giá trị tuyệt đối bất kỳ trên $K$, hàm $|x|^p$ là một giá trị tuyệt đối trên $K$ (tương đương với $|x|$) với mọi $p$ sao cho $0 < p \leq 1$. Ta chỉ cần kiểm tra bất đẳng thức $|x + y|^p \leq |x|^p + |y|^p$; và vì $|x + y|^p \leq (|x| + |y|)^p$ nên chỉ cần chứng minh rằng, nếu $a > 0$ và $b > 0$, ta có $(a + b)^p \leq a^p + b^p$ với mọi $p$ sao cho $0 < p \leq 1$. Nếu đặt $c = a/(a + b)$ và $d = b/(a + b)$, ta có $c + d = 1$, và bất đẳng thức cần chứng minh là $c^p + d^p \geq 1$; nhưng điều này suy ra ngay lập tức từ các hệ thức $c^p \geq c$ và $d^p \geq d$, vốn đúng vì $0 < c \leq 1$, $0 < d \leq 1$, $0 < p \leq 1$.

Do đó, tập hợp các giá trị của $r > 0$ sao cho $|x|^r$ là một giá trị tuyệt đối là một khoảng hữu hạn hoặc vô hạn của $\mathbf{R}$ có đầu mút bên trái là $0$; nếu nó hữu hạn, thì hiển nhiên nó đóng; vì nếu ta có $|x + y|^r \leq |x|^r + |y|^r$ với mọi $x, y$ trong $K$ và mọi $r$ sao cho $0 < r < r_0$, thì bởi tính liên tục, bất đẳng thức vẫn đúng với $r = r_0$. Nếu $|x|^r$ là một giá trị tuyệt đối với mọi $r > 0$, thì ta có

với mọi $x$ và $y$ trong $K$ và mọi $r > 0$. Bây giờ, nếu $a, b$ là hai số thực $\geq 0$, ta có $\lim_{r \to \infty} (a^r + b^r)^{1/c} = \sup (a, b)$; vì, giả sử chẳng hạn rằng $a \geq b$, ta có $a \leq (a^r + b^r)^{1/r} \leq 2^{1/r} a$, và kết quả suy ra khi cho $r \to + \infty$.

Vậy, nếu $|x|^r$ là một giá trị tuyệt đối với mọi $r > 0$, ta có

điều này có thể được diễn đạt bằng cách nói rằng $v(x) = -\log |x| \ (x \neq 0)$ là một định giá trên $K$.

Cho $\mathfrak{F}$ là một bộ lọc Cauchy trên $K$ (đối với cấu trúc đều cộng tính) không có $0$ làm điểm tụ; để chứng minh rằng $\hat{K}$ là một vành chia, chỉ cần chứng minh rằng ảnh của $\mathfrak{F}$ qua ánh xạ $x \to x^{-1}$ là một cơ sở bộ lọc Cauchy (chương III, § 6, no. 8, Mệnh đề 7). Theo giả thiết, tồn tại một số thực $\alpha > 0$ và một tập hợp $A \in \mathfrak{F}$ sao cho $|x| \geq \alpha$ với mọi $x \in A$; mặt khác, với mỗi $\varepsilon > 0$ tồn tại một tập hợp $B \in \mathfrak{F}$ sao cho $B \subset A$ và $|x - y| \leq \varepsilon$ với mọi $x \in B$.

và $y \in B$; do đó

và phần đầu tiên của mệnh đề được suy ra. Mêtric bất biến $|x - y| = d(x, y)$ được mở rộng bởi tính liên tục thành một mêtric trên $\hat{K}$ (§ 2, no. 1, Mệnh đề 1), mêtric này xác định tôpô của $\hat{K}$ và bất biến theo nguyên lý mở rộng các đồng nhất thức; ta tiếp tục ký hiệu mêtric bất biến này là $d(x, y)$. Nếu đặt $|x| = d(0, x)$ với $x \in \hat{K}$, thì rõ ràng $|x|$ là mở rộng bởi tính liên tục của hàm $|x|$ trên $K$ và do đó là một giá trị tuyệt đối trên $\hat{K}$ theo nguyên lý mở rộng các đồng nhất thức.

(I)

với mọi $x \in E$.

Các bất đẳng thức này là đủ, vì từ quan hệ $a . p(x) \leq q(x)$ suy ra rằng, với mỗi $r > 0$, quả cầu đóng tâm o bán kính $ar$ (đối với chuẩn $q$) được chứa trong quả cầu đóng tâm o bán kính $r$ (đối với chuẩn $p$); do đó tôpô xác định bởi $q$ mịn hơn tôpô xác định bởi $p$. Tương tự, bất đẳng thức $q(x) \leq b . p(x)$ cho thấy tôpô xác định bởi $p$ mịn hơn tôpô xác định bởi $q$, và do đó $p$ và $q$ là tương đương.

Bây giờ ta chứng minh rằng các bất đẳng thức (I) là cần thiết. Nếu tôpô xác định bởi $q$ mịn hơn tôpô xác định bởi $p$, thì quả cầu đơn vị đối với $p$ chứa một quả cầu đóng tâm o bán kính $\alpha > 0$ đối với $q$; nghĩa là, quan hệ $q(x) \leq \alpha$ kéo theo $p(x) \leq 1$. Nếu $t_0 \in K$ là phần tử sao cho $0 < |t_0| < 1$, thì với mỗi $x \neq o$ trong $E$ tồn tại một số nguyên hữu tỉ $k$ duy nhất sao cho $\alpha |t_0| < q(t_0^k x) \leq \alpha$; do đó $p(t_0^k x) \leq 1$, nên

đặt $a = \alpha |t_0|$ ta có do đó $a . p(x) \leq q(x)$ với mọi $x \neq o$, và bất đẳng thức này cũng đúng khi $x = o$. Tương tự ta chứng minh rằng nếu tôpô xác định bởi $p$ mịn hơn tôpô xác định bởi $q$, thì tồn tại $b > 0$ sao cho $q(x) \leq b . p(x)$.

Sự mở rộng của $tx$ bằng tính liên tục là một trường hợp riêng của định lý mở rộng một ánh xạ song tuyến tính liên tục của một tích của hai nhóm Abel vào một nhóm thứ ba (Chương III, § 6, no. 5, Định lý 1); ta có $1.x = x$ và $t(u x) = (t u)x$ với $t \in \hat{K}$, $u \in \hat{K}$ và $x \in \hat{E}$, theo nguyên lý mở rộng các đồng nhất thức; do đó phép toán ngoài $(t, x) \to t x$ thực sự xác định trên $\hat{E}$ một cấu trúc của một không gian vectơ trên $\hat{K}$. Mặt khác, mêtric bất biến $\overline{d}(x, y) = \overline{p}(x - y)$ mở rộng thành một mêtric bất biến $\overline{d}$ trên $\hat{E}$ (§ 2, no. 1, Mệnh đề 1), mêtric này xác định tôpô của $\hat{E}$; nếu đặt $\overline{p}(x) = \overline{d}(0, x)$, thì $\overline{p}$ là sự mở rộng của $p$ bằng tính liên tục, và thỏa mãn các tiên đề (NO_I) và (NO_{II}); do tính liên tục của $t x$ trên $\hat{K} \times \hat{E}$, $\overline{p}$ cũng thỏa mãn (NO_{III}) (nguyên lý mở rộng các đồng nhất thức) và do đó là một chuẩn trên $\hat{E}$.

Khi cần xét một cấu trúc không gian định chuẩn xác định trên một không gian vectơ $E$, thông thường ta sẽ ký hiệu chuẩn của một vectơ $x$ bằng $||x||$, trừ khi ký hiệu này có khả năng dẫn đến nhầm lẫn.