Bài tập 12, § 5

Một không gian tôpô $X$ được gọi là hoàn toàn không meagre nếu mọi không gian con đóng khác rỗng của $X$ đều không meagre. Một không gian địa phương compact là hoàn toàn không meagre, và một không gian mêtric đầy đủ cũng vậy.

a) Chứng minh rằng một không gian chính quy hoàn toàn không meagre là một không gian Baire.

b) Trong một không gian khả tiếp hoàn toàn không meagre, một tập đóng đếm được khác rỗng là mỏng (Bài tập 2) và do đó có ít nhất một điểm cô lập.

c) Trong một không gian hoàn toàn không meagre $X$, mọi không gian con $A$ là giao của một giao đếm được các tập mở trong $X$ đều hoàn toàn không meagre (nếu $F$ là một tập con của $A$ đóng trong $A$, đặt $\overline{F}$ là bao đóng của $F$ trong $X$, và chứng minh rằng $\overline{F} \cap C_F$ là meagre tương đối đối với $\overline{F}$).

d) Nếu mỗi điểm của một không gian tôpô $X$ có một lân cận là một không gian con hoàn toàn không meagre, thì $X$ là hoàn toàn không meagre.