Bài tập 15, § 5

Cho $X$ là tập con của mặt phẳng $\mathbf{R}^2$ gồm đường thẳng $D = \{0\} \times \mathbf{R}$ và các điểm $(1/n, k/n^2)$, trong đó $n$ chạy qua tập hợp các số nguyên $> 0$ và $k$ chạy qua tập hợp tất cả các số nguyên hữu tỉ. a) Với mỗi điểm $(0, y)$ của $D$ và mỗi số nguyên $n > 0$, đặt $T_n(y)$ là tập hợp các điểm $(u, v) \in X$ sao cho $u \leqslant 1/n$ và $|v - y| \leqslant u$. Chứng minh rằng nếu ta lấy làm hệ lân cận cơ bản của mỗi điểm $(0, y)$ họ các tập hợp $T_n(y)$, và lấy làm hệ lân cận cơ bản của mỗi điểm khác của $X$ tập hợp chỉ gồm điểm đó, thì ta đã xác định một tôpô $\mathscr{T}$ trên $X$, tôpô này mịn hơn tôpô cảm sinh bởi tôpô của $\mathbf{R}^2$, và đối với tôpô này $X$ là địa phương compact. b) Chứng minh rằng $X$ là hợp của một họ đếm được các không gian con đóng mêtric hóa được và rằng mỗi điểm của $X$ có một lân cận compact mêtric hóa được, nhưng rằng $X$ không chuẩn. [Cho $A$ là tập hợp tất cả các điểm $(0, y)$ trong đó $y$ là hữu tỉ, và cho $B = D - A$; chứng minh rằng mọi lân cận $U$ của $A$ trong $X$ đều giao với mọi lân cận $V$ của $B$ trong $X$; để làm điều này, xét với mỗi $n$ tập hợp $B_n$ gồm các điểm $y \in B$ sao cho $T_n(y) \subset V$, và chú ý rằng tập hợp $B$ không là tập thưa trong $\mathbf{R}$.]