Exercice 15, § 5

On désigne par $\mathbf{R}_-$ l’espace topologique obtenu en munissant l’ensemble totalement ordonné $\mathbf{R}$ des nombres réels, de la topologie $\mathscr{T}_-(\mathbf{R})$ (I, p. 91, exerc. 5).

a) Montrer que tout ensemble ouvert dans $\mathbf{R}_-$ est réunion d’une famille dénombrable d’intervalles semi-ouverts à gauche ou ouverts, deux à deux sans point commun. En déduire que $\mathbf{R}_-$ est un espace parfaitement normal (IX, p. 111, exerc. 11) et totalement inépuisable (IX, p. 113, exerc. 11).

b) Montrer que l’espace $\mathbf{R}_- \times \mathbf{R}_-$ n’est pas normal, et par suite que $\mathbf{R}_-$ n’est pas métrisable, bien qu’il existe dans $\mathbf{R}_-$ une partie dénombrable partout dense. (En considérant dans $\mathbf{R}_- \times \mathbf{R}_-$ l’ensemble des points $(x, y)$ tels que $x + y = 1$, montrer qu’il existe une partie fermée de $\mathbf{R}_- \times \mathbf{R}_-$ qui est un sous-espace homéomorphe à l’espace $X$ défini dans l’exerc. 14.)

c) Montrer que tout sous-espace de $\mathbf{R}_-$ est un espace de Lindelöf (IX, p. 75), et par suite est paracompact (IX, p. 76, prop. 2). (Pour tout $x \in \mathbf{R}_-$, soit $U_x$ un intervalle semi-ouvert $]y(x), x]$ d’extrémité $x$. Montrer que l’ensemble des $z \in \mathbf{R}_-$ qui n’appartiennent à aucun intervalle ouvert $]y(x), x[$ est dénombrable; on pourra utiliser l’exerc. 1 de IV, p. 47.)

d) Montrer que tout sous-ensemble compact de $\mathbf{R}_-$ est dénombrable (si $A$ est un ensemble compact dans $\mathbf{R}_-$, les topologies induites sur $A$ par $T_-(\mathbf{R})$ et $T_0(\mathbf{R})$ sont identiques; en déduire que tout point de $A$ est origine d’un intervalle contigu à $A$).