Bài tập 18, § 5

a) Chứng minh rằng trong một không gian mêtric đầy đủ, mọi tập hợp hoàn hảo đều chứa một tập con đồng phôi với tập tam phân Cantor (Chương IV, § 2, no. 5) (sử dụng Bài tập 11 của Chương IV, § 8).

b) Suy ra rằng, trong một không gian mêtric đầy đủ có một cơ sở đếm được, mọi tập hợp hoàn hảo đều có lũy thừa của continuum và mọi tập hợp đóng cũng như mọi tập hợp mở hoặc là đếm được hoặc có lũy thừa của continuum [sử dụng Bài tập 11 b)].

c) Chứng minh rằng trong một không gian mêtric đầy đủ không đếm được có một cơ sở đếm được, tập hợp các tập con hoàn hảo có lũy thừa của continuum. [Trước hết chứng minh mệnh đề đối với không gian compact $\{0, 1\}^\mathbf{N}$, sau đó sử dụng a) và § 2, Bài tập 12 b).]

d) Cho $X$ là một không gian mêtric đầy đủ không đếm được có một cơ sở đếm được. Chứng minh rằng tồn tại một tập con $Z$ của $X$ sao cho cả $Z$ và $X - Z$ đều có lũy thừa của continuum và sao cho cả $Z$ lẫn $X - Z$ đều không chứa một tập hợp hoàn hảo khác rỗng nào. [Sử dụng b) và c) và phương pháp được mô tả trong Lý thuyết tập hợp, Chương III, § 6, Bài tập 24 a).] Nếu hơn nữa $X$ không có điểm cô lập, chứng minh rằng cả $Z$ lẫn $X - Z$ đều không thưa. (Nếu $A$ là một giao đếm được của các tập con mở trù mật của $X$, chứng minh rằng $A$ chứa các tập hợp hoàn hảo khác rỗng bằng cách sử dụng c) và § 2, Bài tập 24.) Suy ra rằng trong trường hợp này $Z$ không phải là một tập hợp gần mở trong $X$ (Bài tập 6; chú ý rằng lập luận ở trên cho thấy rằng nếu $U$ là một tập con mở khác rỗng bất kỳ của $X$, thì $U \cap Z$ không thưa).