Bài tập 27, § 5

(a) Cho $G$ là một nhóm tôpô, và cho $A$ là một tập hợp gần mở (Bài tập 6) trong $G$. Chứng minh rằng nếu $A$ không là tập hợp hạng thấp thì $AA^{-1}$ là một lân cận của phần tử đơn vị trong $G$. [Trước hết chú ý rằng $G$ là một không gian Baire nhờ Bài tập 3. Cho $A^*$ là hợp của tất cả các tập hợp mở $U \subset G$ sao cho $U \cap CA$ là hạng thấp. Chứng minh rằng $A^*$ không rỗng và rằng nếu $x \in G$ là sao cho $xA^*$ giao với $A^*$, thì $xA$ giao với $A$. Từ đó suy ra rằng $AA^{-1} \supset A^*(A^*)^{-1}.$]

(b) Suy ra từ (a) rằng một nhóm con gần mở của một nhóm tôpô $G$ hoặc là hạng thấp hoặc là mở (và đóng). Đặc biệt, một nhóm tôpô đếm được là một không gian Baire Hausdorff thì rời rạc.

(c) Chứng minh rằng tồn tại các nhóm con $H$ của nhóm tôpô $R$ sao cho $R/H$ là vô hạn đếm được (sử dụng một cơ sở Hamel); một nhóm con như vậy là trù mật nhưng không hạng thấp cũng không gần mở.

(d) Cho $G$ là một nhóm tôpô mêtric hóa được mà các cấu trúc đều trái và phải của nó trùng nhau. Chứng minh rằng nếu tồn tại một mêtric trên $G$, tương thích với tôpô của $G$, và theo đó $G$ là một không gian mêtric đầy đủ, thì $G$ là một nhóm mêtric hóa được đầy đủ [sử dụng (b); § 3, Bài tập 2; và § 2, Bài tập 24].