Exercice 27, § 5

a) Soient $G$ un groupe topologique, $A$ un ensemble approchable (IX, p. 112, exerc. 6) dans $G$ montrer que, si $A$ n’est pas maigre, $AA^{-1}$ est un voisinage de l’élément neutre dans $G$. (Remarquer d’abord, en vertu de IX, p. 111, exerc. 3, que $G$ est un espace de Baire. Soit $A^*$ la réunion des ensembles ouverts $U \subset G$ tels que $U \cap \complement A$ soit maigre. Montrer que $A^*$ n’est pas vide, et que si $x \in G$ est tel que $xA^* \cap A^* \neq \emptyset$, alors $xA \cap A \neq \emptyset$. Conclure que $AA^{-1} \supset A^*(A^*)^{-1}$.)

b) Déduire de $a$) qu’un sous-groupe approchable d’un groupe topologique $G$ est, soit maigre, soit ouvert (et fermé). En particulier, un groupe topologique dénombrable qui est un espace de Baire séparé est discret.

c) Montrer que dans le groupe topologique $\mathbf{R}$, il existe des sous-groupes $H$ tels que $\mathbf{R}/H$ soit infini dénombrable (utiliser une base de Hamel); un tel sous-groupe est partout dense, non maigre et non approchable.

d) Soit $G$ un groupe topologique métrisable dont les structures uniformes droite et gauche sont identiques. Montrer que s’il existe sur $G$ une distance compatible avec la topologie et pour laquelle soit $G$ un espace métrique complet, alors $G$ est un groupe métrisable complet. (Utiliser $b$), IX, p. 99, exerc. 2 et IX, p. 58).