Bài tập 28, § 5

Cho $G, G'$ là hai nhóm tôpô. Chứng minh rằng mọi đồng cấu liên tục $f$ của $G$ lên $G'$ đều là một cấu xạ ngặt trong mỗi trường hợp sau:

a) $G$ là compact địa phương và $\sigma$-compact, còn $G'$ là không loại [chứng minh rằng có một tập mở tương đối compact $U$ trong $G$ sao cho phần trong của $f(\overline{U})$ không rỗng; suy ra rằng với mỗi lân cận compact $V$ của phần tử đơn vị của $G$, phần trong của $f(V)$ không rỗng, và sau đó áp dụng Chương III, § 2, Bài tập 18].

b) $G$ là đầy đủ, tôpô của $G$ có một cơ sở đếm được, và $G'$ là không loại. [Bằng cách sử dụng sự kiện rằng, với mỗi lân cận $U$ của phần tử đơn vị $e$ của $G$, $G$ là hợp của một dãy các tập hợp có dạng $x_n U$, chứng minh rằng với mỗi tập mở $A$ trong $G$ có một tập mở $A'$ trong $G'$ chứa $f(A)$ và sao cho $f(A)$ trù mật trong $A'$. Sau đó xét một hệ cơ bản $(U_n)$ các lân cận đối xứng của $e$ trong $G$, sao cho $\overline{U}_{n+1}^2 \subset U_n$, và chứng minh rằng $f(U_p)$ chứa tập mở $U'_{p+1}$; để làm điều này, lấy một điểm bất kỳ $a' \in U'_{p+1}$ rồi xây dựng bằng quy nạp một dãy $(b_n)$ các điểm của $G$ sao cho $b_n \in U_{p+n}$ và sao cho $f(b_1 b_2 \ldots b_n)$ hội tụ tới $a'$; chú ý rằng, nếu $x' \in U'_k$, thì tồn tại $y \in U_k$ sao cho $f(y) \in x'U_{k+1}'$.] Giả thiết rằng $G$ có một cơ sở đếm được là cốt yếu, như được chỉ ra bởi ví dụ trong đó $G'$ là nhóm $\mathbf{R}$ với tôpô của đường thẳng thực, $G$ là nhóm $\mathbf{R}$ với tôpô rời rạc và $f : G \to G'$ là ánh xạ đồng nhất.