Exercice 28, § 5

Soient $G, G'$ deux groupes topologiques. Montrer que tout homomorphisme continu surjectif $f : G \to G'$ est un morphisme strict lorsqu’on suppose que $G$ est complet, que la topologie de G admet une base dénombrable¹, et que G' est inépuisable (en utilisant le fait que, pour tout voisinage U de l’élément neutre e de G, G est réunion d’une suite d’ensembles de la forme x_n U, montrer que pour tout ensemble ouvert A de G, il existe un ensemble ouvert A' de G' contenant f(A) et tel que f(A) soit dense dans A'. Considérer ensuite un système fondamental (U_n) de voisinages symétriques de e dans G, tels que U_{n+1}' \subset U_n; montrer que f(U_p) contient l’ensemble ouvert U_{p+1}'; pour cela, prendre un point a' \in U_{p+1}', puis construire par récurrence une suite (b_n) de points de G telle que b_n \in U_{p+n}, et que f(b_1 b_2 ... b_n) tende vers a'; on remarquera que, si x' \in U_k', il existe y \in U_k tel que f(y) \in x' U_{k+1}'.