Bài tập 3, § 5

Cho $A$ là một tập con của một không gian tôpô $X$, và ký hiệu $D(A)$ là tập hợp tất cả các $x \in X$ sao cho, với mỗi lân cận $V$ của $x$, tập hợp $V \cap A$ không thưa. $D(A)$ được chứa trong $\overline{A}$.

$a$ Nếu $B$ là một tập con của $X$ sao cho $D(B) = \varnothing$, thì

với mọi tập con $A$ của $X$.

$b$ $D(A) = \varnothing$ khi và chỉ khi $A$ là thưa. [Bắt đầu bằng cách chứng minh rằng nếu $(U_i)$ là một họ các tập con mở rời nhau từng đôi một của $X$ và nếu, với mỗi $i$, $V_i$ là một tập hợp không trù mật (tương đối với $X$) được chứa trong $U_i$, thì $\bigcup V_i$ là không trù mật. Sau đó xét một tập hợp cực đại $\mathfrak{M}$ gồm các tập con mở của $X$, mỗi cặp trong đó rời nhau, và sao cho $A \cup U$ là thưa với mỗi $U \in \mathfrak{M}$; sự tồn tại của một tập hợp cực đại như vậy được thiết lập bởi bổ đề Zorn. Chứng minh rằng nếu $D(A) = \varnothing$, thì $A \cap \mathbf{C}W$ là không trù mật, trong đó $W$ là hợp của các tập hợp của $\mathfrak{M}$, và do đó chứng minh rằng $A$ là thưa.]

$c$ Chứng minh rằng $D(A)$ là đóng và rằng $A \cap \mathbf{C}D(A)$ là thưa với mọi $A \subset X$ [chứng minh, với sự trợ giúp của $b$], rằng $A \cap \mathbf{C}D(A)$ là thưa tương đối với không gian con mở $\mathbf{C}D(A)$].

$d$ Chứng minh rằng $D(A)$ bằng bao đóng của phần trong của nó. [Nếu $D'(A)$ là bao đóng của phần trong của $D(A)$, chứng minh rằng $A \cap \mathbf{C}D'(A)$ là thưa, bằng cách nhận thấy rằng tập hợp này là hợp của