Exercice 3, § 5

Soit A une partie d’un espace topologique X ; on désigne par D(A) la partie de X formée des points x tels que, pour tout voisinage V de x, l’ensemble V ∩ A ne soit pas maigre. On a D(A) ⊂ A.

a) Montrer que si B est un ensemble tel que D(B) = ∅, on a D(A ∪ B) = D(A) pour toute partie A de X.

b) Pour que D(A) = ∅, il faut et il suffit que A soit en ensemble maigre. (On commencera par montrer que, si (U_α) est une famille d’ensembles ouverts dans X, deux à deux disjoints, et si, pour chaque α, B_α est un ensemble rare relativement à X, contenu dans U_α, alors l’ensemble $\bigcup_{\alpha} B_\alpha$ est rare. On considérera ensuite un ensemble maximal $\mathfrak{M}$ d’ensembles ouverts dans X, deux à deux disjoints et tels que pour tout U ∈ $\mathfrak{M}$, A ∩ U soit maigre ; l’existence d’un tel ensemble s’établira par le th. de Zorn. On montrera enfin que la relation D(A) = ∅ entraîne que, si G est la réunion des ensembles de $\mathfrak{M}$, l’ensemble A ∩ $\complement$ G est rare.)

c) Montrer que l’ensemble D(A) est fermé, et que l’ensemble A ∩ $\complement$ D(A) est maigre (établir, à l’aide de b), que A ∩ $\complement$ D(A) est maigre relativement au sous-espace ouvert $\complement$ D(A)).

d) Montrer que D(A) est identique à l’adhérence de son intérieur (si D'(A) est l’adhérence de l’intérieur de D(A), montrer que A ∩ $\complement$ D'(A) est maigre, en observant que cet ensemble est réunion de A ∩ $\complement$ D(A) et de A ∩ D(A) ∩ $\complement$ D'(A)).