Bài tập 6, § 5

Một tập $A$ trong một không gian tôpô $X$ được gọi là gần mở nếu có một tập mở $U$ trong $X$ sao cho cả $U \cap \complement A$ và $A \cap \complement U$ đều là các tập hợp hạng nhất.

a) Phần bù của một tập gần mở là gần mở.

b) Hợp đếm được của các tập gần mở là gần mở.

c) Chứng minh rằng các mệnh đề sau là tương đương: $\alpha)$ $A$ là gần mở; $\beta)$ có một tập con hạng nhất $M$ của $X$ sao cho $A \cap \complement M$ vừa mở vừa đóng trong không gian con $X - M$; $\gamma)$ có một tập $G \subset A$ là giao đếm được của các tập mở trong $X$, sao cho $A - G$ là hạng nhất trong $X$; $\delta)$ có một tập $F \supset A$ là hợp đếm được của các tập đóng trong $X$, sao cho $F - A$ là hạng nhất trong $X$; $\zeta)$ tập $D(A) \cap D(X - A)$ (Bài tập 3) là không trù mật ở đâu trong $X$; $\theta)$ tập $D(A) \cap \complement A$ là hạng nhất trong $X$. [Dùng các Bài tập 3 a) và 3 b) để chứng minh rằng $\alpha) \rightarrow \zeta) \rightarrow \theta) \rightarrow \alpha)$.

d) Cho $X, Y$ là hai không gian tôpô và giả sử rằng tôpô của một trong hai không gian $X$ hoặc $Y$ có một cơ sở đếm được. Khi đó một tập con của $X / Y$ có dạng $A \times B$ là gần mở khi và chỉ khi hoặc cả $A$ và $B$ đều là gần mở hoặc một trong chúng là hạng nhất [dùng $\zeta$ của $c$].