Exercice 6, § 5

Dans un espace topologique $X$, on dit qu’un ensemble $A$ est approchable s’il existe un ensemble ouvert $U$ tel que chacun des ensembles $U \cap \complement A, A \cap \complement U$ soit maigre (cf. IX, p. 69).

a) Montrer que le complémentaire d’un ensemble approchable est approchable.

b) Montrer que toute réunion dénombrable d’ensembles approchables est approchable.

c) Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes: $\alpha)$ $A$ est approchable; $\beta)$ il existe une partie maigre $M$ de $X$ telle que dans le sous-espace $X - M, A \cap \complement M$ soit à la fois ouvert et fermé; $\gamma)$ il existe un ensemble $G \subset A$, intersection dénombrable d’ensembles ouverts dans $X$, tel que $A - G$ soit maigre dans $X$; $\delta)$ il existe un ensemble $F \supset A$, réunion dénombrable d’ensembles fermés dans $X$, tel que $F - A$ soit maigre dans $X$; $\zeta)$ l’ensemble $D(A) \cap D(X - A)$ (notations de IX, p. 111, exerc. 3) est rare dans $X$; $\theta)$ l’ensemble $D(A) \cap \complement A$ est maigre dans $X$.

(Pour démontrer l’équivalence de $\alpha$)$, \zeta)$ et $\theta)$, on utilisera IX, p. 111, exerc. 3 a) et 3 b), et on montrera que $\alpha)$ entraîne $\zeta)$, que $\zeta)$ entraîne $\theta)$ et que $\theta)$ entraîne $\alpha)$).

d) Soient $X, Y$ deux espaces topologiques tels que la topologie de l’un d’eux ait une base dénombrable. Pour qu’une partie de $X \times Y$ de la forme $A \times B$ soit approchable, il faut et il suffit que l’un des ensembles $A, B$ soit maigre, ou que tous deux soient approchables (utiliser la propriété $\zeta$) de c)).