Bài tập 10, § 6

a) Cho X là một không gian mêtric hóa được và cho S là một không gian con Souslin của X. Hãy chứng minh rằng S là hầu mở trong X (§ 5, Bài tập 6). [Cho P là một không gian Polish, g là một ánh xạ liên tục của P lên S, $(C_n, p_n, \varphi_n)$ là một phép sàng lọc của P, và f là ánh xạ liên tục tương ứng của L(C) lên P (theo ký hiệu của no. 5); đặt $h = g \circ f$, và với mỗi $c \in C_n$ ký hiệu $q_n(c)$ là không gian con của L(C) gồm các dãy $(c_k)$ sao cho $c_n = c$. Đặt $F_n(c) = h(q_n(c))$ và đặt $U_n(c) = g(\varphi_n(c)) \supset F_n(c)$ với mỗi $c \in C_n$; ký hiệu $W_n(c)$ là hợp của $D(U_n(c))$ (§ 5, Bài tập 3) và một tập không đáng kể trong X, sao cho $F_n(c) \subset W_n(c) \subset \overline{U_n(c)}$, do đó $W_n(c)$ là hầu mở trong X. Hãy chứng minh rằng

là không đáng kể trong X bằng cách nhận xét rằng $F_n(c) = \bigcup_{p_n(c') = c} F_{n+1}(c')$; cũng hãy chứng minh rằng tập $W_n(c) - F_n(c)$ được chứa trong hợp của các tập $V_m(d)$ trong đó $m \geq n$ và, với mỗi $m, d$ chạy qua tập hợp các phần tử của $C_m$ sao cho $p_{nm}(d) = c$. Suy ra rằng $F_n(c)$ là hầu mở.]

b) Hãy cho một ví dụ về một ánh xạ liên tục $f$ của $[0, 1]$ vào chính nó và một tập hầu mở $B \subset I$ sao cho $f(B)$ không hầu mở. [Dùng Bài tập 16 b) của Chương IV, § 8, và chứng minh rằng ta có thể lấy $B$ là một tập con của tập Cantor $K$ sao cho $f(B) = Z$ có tính chất được mô tả trong § 5, Bài tập 18 d).]