Exercice 10, § 6

Soient $X$ un espace souslinien, $f$ une application continue de $X$ dans un espace séparé $Y$. Montrer que si $f(X)$ n’est pas dénombrable, il existe un sous-espace $A$ de $X$,

¹ On peut montrer que dans l’espace $\mathscr{C}(I)$ des fonctions numériques continues dans un intervalle compact $I \subset \mathbf{R}$, muni de la topologie de la convergence uniforme (qui en fait un espace polonais), l’ensemble des fonctions différentiables est non souslinien mais a un complémentaire souslinien (cf. S. MAZURKIEWICZ, Fund. Math., t. XXVII (1936), p. 244).

homéomorphe à l’ensemble triadique de Cantor K (IV, p. 9), tel que la restriction de $f$ à A soit injective. (Se ramener au cas où X est un espace métrique complet. Montrer qu’il existe un crible $C = (C_n, p_n)$ tel que pour tout $n$, $C_n$ soit un ensemble à $2^n$ éléments, et pour chaque $n$, une application $\varphi_n$ de $C_n$ dans l’ensemble des parties fermées non vides de X, de diamètre $\leq 2^{-n}$, de sorte que: $1^\circ \; \varphi_{n+1}(c) \subset \varphi_n(p_n(c))$ pour tout $c \in C_{n+1}$; $2^\circ$ pour deux éléments distincts $c, c'$ de $C_n$, $f(\varphi_n(c))$ et $f(\varphi_n(c'))$ soient disjoints. On utilisera I, p. 108, exerc. 17). En particulier, tout espace souslinien non dénombrable contient un sous-espace homéomorphe à K, et par suite à la puissance du continu.