Bài tập 12, § 6

Cho $X$ là một không gian mêtric hóa được, và cho $f$ là một ánh xạ từ tập hợp $\mathscr{K}(X)$ các tập con compact của $X$ vào $\overline{\mathbf{R}}$ thỏa mãn các điều kiện (CA$_I$) (đối với hai tập con compact của $X$) và (CA$_{III}$). Với mỗi tập con $A$ của $X$, ký hiệu $f_*(A)$ là cận trên lớn nhất của các số $f(K)$ với mọi tập con compact $K$ của $A$, và ký hiệu $f^*(A)$ là cận dưới lớn nhất của các $f_*(U)$ với mọi tập hợp mở $U$ chứa $A$. Ta nói rằng $A$ là thích hợp đối với $f$ nếu $f_*(A) = f_*(A)$.

a) Chứng minh rằng với mọi tập con compact $L$ của $X$ và mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập hợp mở $U \supset L$ sao cho, với mọi tập con compact $K$ của $X$ thỏa mãn $L \subset K \subset U$, ta có $f(K) \leq f(L) + \varepsilon$. (Lập luận bằng phản chứng.) Suy ra rằng mọi tập con compact và mọi tập hợp mở của $X$ đều thích hợp đối với $f$.

b) Giả sử rằng $f$ thỏa mãn điều kiện sau:

(AL) Với mỗi cặp tập con compact $K, K'$ của $X$, ta có

Chứng minh rằng nếu $(K_i)$ là một họ hữu hạn các tập compact có tính chất và nếu $(K'_i)$ là một họ hữu hạn khác các tập compact được đánh chỉ số bởi cùng một tập chỉ số, sao cho $K'_i \subset K_i$ và $f(K'_i) > -\infty$ với mỗi $i$, thì ta có

Cho $(A_i), (B_i)$ là hai họ hữu hạn các tập con của $X$, có cùng tập chỉ số, sao cho $B_i \subset A_i$ với mỗi $i$, $f^* \left( \bigcup_i A_i \right) < +\infty$ và $f^*(B_i) > -\infty$ với mỗi $i$. Chứng minh rằng nếu $f$ thỏa mãn (AL), ta có

[Quy về trường hợp một tập chỉ số có hai phần tử. Trước hết xét trường hợp $A_i$ và $B_i$ là các tập hợp mở, và sử dụng bổ đề sau: nếu $U_1, U_2$ là hai tập hợp mở và $K$ là một tập compact được chứa trong $U_1 \cup U_2$, thì tồn tại các tập compact $K_i \subset U_i \ (i = 1, 2)$ sao cho $K \subset K_1 \cup K_2$.]

c) Giả sử rằng $f$ thỏa mãn điều kiện (AL). Chứng minh rằng với mọi dãy tăng $(A_n)$ các tập con của $X$ sao cho $f^*(A_n) > -\infty$, ta có $f^* \left( \bigcup_n A_n \right) = \sup_n f^*(A_n)$ [dùng b)]. Suy ra rằng nếu $f$ không nhận giá trị $-\infty$ trên $\mathscr{K}(X)$, thì $f^*$ là một độ đo dung lượng trên $X$.

d) Giả sử rằng $f$ thỏa mãn điều kiện (AL). Chứng minh rằng hợp của mọi dãy $(A_n)$ các tập khả nạp sao cho $f^*(A_n) > -\infty$ với mỗi $n$ là khả nạp. [Dùng b) và c).]