Exercice 12, § 6

a) Sous les hypothèses du th. 4 de IX, p. 69, soit $f$ une application continue de l’espace quotient X/R dans un espace métrisable Y. Montrer que $f(Y)$ est un ensemble borélien dans Y. b) Soient X un espace compact métrisable, Z une partie fermée non vide de X, $\mathscr{H}$ l’ensemble des applications continues injectives de Z dans X. Montrer que, si l’on considère $\mathscr{H}$ comme une partie de l’espace métrisable $\mathscr{C}_u(Z; X)$ (X, p. 7), $\mathscr{H}$ est intersection dénombrable d’ensembles ouverts (considérer un système fondamental dénombrable de voisinages ouverts de la diagonale de $X \times X$). c) On munit l’ensemble $\mathscr{F}(X)$ des parties fermées non vides de X de la distance définie dans IX, p. 91, exerc. 6; montrer que dans cet espace métrique. l’ensemble $\mathscr{H}(Z)$ des sous-espaces fermés homéomorphes à Z est borélien. (Considérer l’application $f$ de $\mathscr{H}$ sur $\mathscr{H}(Z)$ qui, à toute application $u \in \mathscr{H}$, fait correspondre $u(Z)$; observer que la fibre $f^{-1}(f(u))$ est l’ensemble des applications $u \circ s$, où s parcourt le groupe G des homéomorphismes de Z sur lui-même.)