Bài tập 15, § 6

Cho $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}$; định nghĩa một dung lượng $f$ trên $\mathbf{R}^2$ thỏa mãn điều kiện (AL) của Bài tập 12 bằng cách đặt $f(A) = \mu^*(\mathrm{pr}_1A)$ (Mệnh đề 15).

a) Cho $A$ là một tập con bị chặn không đo được theo khả năng của $\mathbf{R}^2$ (Bài tập 14), cho $B_0$ là một đường tròn $||x|| = r$ sao cho $A$ được chứa trong đĩa mở $||x|| < r$, và cho $B_1$ là một đường tròn $||x|| = r'$ bán kính $r' > r$. Chứng minh rằng $A \cup B_0$ và $A \cup B_1$ là đo được theo khả năng, mặc dù giao của chúng $A$ thì không.

b) Với mỗi $n$, cho $C_n$ là tập hợp tất cả các $x \in \mathbf{R}^2$ sao cho

Chứng minh rằng mỗi tập hợp $A \cup C_n$ là đo được theo khả năng, mặc dù giao của chúng thì không, và ta có $\inf_n f(C_n) \neq f\left( \bigcap_n C_n \right)$. \*