Exercice 15, § 6

Soient $X = \mathbf{R}^n$, $M$ une partie fermée de $X$. On dit qu’un point $x \in M$ est linéairement accessible s’il existe un point $y \in X - M$ tel que le segment ouvert d’extrémités $x, y$ soit contenu dans $X - M$. Montrer que l’ensemble $L \subset M$ des points linéairement accessibles de $M$ est souslinien. (Soit $d(x, y)$ la distance euclidienne dans $X$, et pour tout $z \in X$, soit $f_z(x, y) = d(x, z) + d(z, y) - d(x, y)$. Remarquer que, dans $X \times X \times X$, l’ensemble des $(x, y, z)$ tels que $x \in M, y \in X - M, z \in M, z \neq x$ et $f_z(x, y) = 0$ est réunion dénombrable d’ensembles compacts, et par suite qu’il en est de même de sa projection sur le produit des deux premiers facteurs.)