Bài tập 2, § 6

a) Cho $X$ là một không gian mêtric hóa được. Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương:

$\alpha)$ Tồn tại một mêtric $d$ tương thích với tôpô của $X$, sao cho đối với mêtric đó $X$ là một không gian ultramêtric (§ 2, Bài tập 4).

$\beta)$ $X$ là không chiều mạnh.

$\gamma)$ Tồn tại một dãy $(\mathscr{B}_n)$ các họ địa phương hữu hạn gồm các tập con mở và đóng của $X$ sao cho $\mathscr{B} = \bigcup_n \mathscr{B}_n$ là một cơ sở cho tôpô của $X$.

[Để chỉ ra rằng $\alpha)$ kéo theo $\beta)$, chú ý rằng nếu $F$ là một tập đóng trong một không gian siêu mêtric $X$, thì tập hợp tất cả các $x \in X$ sao cho $d(x, F) = \rho > 0$ vừa mở vừa đóng trong $X$. Để chỉ ra rằng $\beta)$ kéo theo $\gamma)$, sử dụng Bổ đề 3 của $§ 4$, no. 5 và Bài tập 1 c) của $§ 6$. Cuối cùng, để thiết lập rằng $\gamma)$ kéo theo $\alpha)$, rút gọn về trường hợp $\mathscr{B}_n = (U_{n, \lambda})_{\lambda \in L}$, và nếu $f_{n, \lambda}$ là hàm đặc số của $U_{n, \lambda}$, xét ánh xạ $x \mapsto f(x) = f_{n, \lambda}(x)$ của $X$ vào nhóm tích $G^{N \times L}$, trong đó $G = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ (đồng nhất với tập hợp $\{0, 1\}$); với mỗi $n \in \mathbf{N}$, cho $G_n$ là nhóm con của $G$ gồm các phần tử có các tọa độ $(k, \lambda)$ bằng không với mọi $\lambda \in L$ và mọi $k < n$; chứng minh rằng nếu $G$ được trang bị tôpô nhóm mà $(G_n)$ là một hệ cơ sở các lân cận của 0, thì $f$ là một đồng phôi của $X$ lên một không gian con của $G$; và hoàn thành chứng minh bằng cách chú ý rằng tôpô của $G$ có thể được định nghĩa bởi một mêtric bất biến mà đối với nó $G$ là một không gian siêu mêtric.]

b) Suy ra từ a) rằng mọi không gian Hausdorff không chiều $X$ có một cơ sở đếm được là một không gian mêtric không chiều mạnh. (Chứng minh bằng cách sử dụng $§ 2$, no. 8, Mệnh đề 13 rằng tồn tại một cơ sở đếm được gồm các tập hợp vừa mở vừa đóng.) Hơn nữa, khi đó $X$ đồng phôi với một không gian con của tập tam phân của Cantor $K$ (xem $§ 2$, Bài tập 12 (*).)

(*) Không biết liệu mọi không gian mêtric không chiều có phải là không chiều mạnh hay không.