Exercice 2, § 6

Soient $X$ un espace métrisable, $d$ une distance bornée compatible avec la topologie de $X$, $\beta X$ le compactifié de Stone-Čech de $X$ (IX, p. 9). Pour tout $x \in X$, on désigne par $f_x$ la fonction numérique obtenue en prolongeant par continuité la fonction $y \mapsto d(x, y)$ à $\beta X$. a) Montrer que pour $x \in X, y \in X, z \in \beta X$, on a $f_x(z) + f_y(z) \geq d(x, y)$. Pour tout point $y \in \beta X$ distinct de $x \in X$, montrer que $f_x(y) > 0$. b) Montrer que si $X$ est intersection d’une suite d’ensembles ouverts $G_n$ dans $\beta X$, il existe sur $X$ une distance compatible avec la topologie et pour laquelle $X$ est complet. (Remarquer que $\beta X - X$ est réunion de la famille d’ensembles compacts $F_n = \beta X - G_n$; pour tout $n$, soit $g_n(x) = \inf_{y \in F_n} f_x(y)$; montrer, en utilisant $a$), que l’on a $g_n(x) > 0$ dans $X$ et que $g_n$ est continue dans $X$. Utiliser enfin la méthode de IX, p. 90, exerc. 25.)