Bài tập 22, § 6

Cho $X, Y$ là hai không gian mêtric hóa, và cho $f$ là một ánh xạ xấp xỉ được (IX, p. 115, exerc. 22) từ $X$ vào $Y$. Bây giờ chứng minh rằng với mọi tập Borel $B \subset Y, f^{-1}(B)$ là xấp xỉ được trong $X$ (cf. IX, p. 112, exerc. 6). Suy ra rằng nếu $g$ là một ánh xạ Borel từ $Y$ vào một không gian mêtric hóa $Z$, thì $g \circ f$ là xấp xỉ được. Cho một ví dụ về một ánh xạ liên tục $f$ và một ánh xạ xấp xỉ được $g$ sao cho $g \circ f$ không xấp xỉ được (cf. IX, p. 122, exerc. 14 b)).

Phụ lục I

1) Cho $X$ là một không gian rời rạc không đếm được, và cho $X'$ là compact hóa Alexandroff của nó. Chứng minh rằng $X'$ là một không gian Lindelöf trong đó có những không gian con mở không phải là những không gian Lindelöf.

App. 2

BÀI TẬP

TG IX.125

2) a) Chứng minh rằng tích của một không gian Lindelöf và một không gian compact là một không gian Lindelöf (cf. I, p. 70, prop. 17).

b) Cho một ví dụ về một không gian Lindelöf X mà mọi không gian con của nó đều là paracompact và sao cho $X \times X$ không phải là một không gian Lindelöf (cf. IX, p. 113, exerc. 15).

3) Cho X là không gian thu được bằng cách trang bị cho $\mathbf{R}^2$ tôpô sinh bởi các tập mở của tôpô thông thường của $\mathbf{R}^2$ và phần bù trong $\mathbf{R}^2$ của nửa đường thẳng mở gồm các điểm $(0, y)$ sao cho $y > 0$ (cf. I, p. 103, exerc. 20 c)). Chứng minh rằng X là một không gian Lusin không chính quy (để thấy rằng X là Lusin, xét không gian Polish là tổng của nửa mặt phẳng đóng $y \leqslant 0$ và nửa mặt phẳng mở $y > 0$ trong $\mathbf{R}^2$).

4) Cho X là một không gian chính quy, A là một tập con của X là một không gian con Lindelöf, và ngoài ra có các tính chất sau: không gian con $X - A$ là paracompact, và mọi lân cận của A trong X chứa một lân cận của A đóng trong X. Chứng minh rằng khi đó X là paracompact. (Cho $\mathscr{R}$ là một phủ mở của X, $\Sigma$ là một tập con đếm được của $\mathscr{R}$ tạo thành một phủ của A, U là hợp của các tập của V, W là một lân cận mở của A sao cho $\overline{W} \subset U$. Sử dụng sự kiện rằng $X - W$ là paracompact, cũng như exerc. 25 của IX, p. 107 và 29 a) của IX, p. 108.)

5) a) Tồn tại trong khoảng $I = [0, 1]$ của $\mathbf{R}$ một tập con Y không đếm được sao cho mọi tập compact của I được chứa trong Y đều đếm được (IX, p. 114, exerc. 17 d)). Cho $X_0$ là bao đóng của Y trong I, và X là không gian tôpô thu được bằng cách lấy làm các tập mở trong X các tập $U \cup S$, trong đó là mở đối với tôpô cảm sinh trên $X_0$ bởi tôpô của I, và S là một tập con tùy ý của Y. Chứng minh rằng X là chính quy, và rằng có một cơ sở cho tôpô của X sao cho mỗi điểm của X chỉ thuộc về vô hạn đếm được các tập của cơ sở này.

b) Chứng minh rằng mọi tập mở V của X chứa $M = X - Y$ đều có phần bù đếm được trong X. Suy ra rằng X không mêtric hóa được (M không phải là một giao đếm được của các tập mở), và rằng X là một không gian Lindelöf.

c) Chứng minh rằng mọi không gian con Z của X là paracompact (nhưng không nhất thiết là một không gian Lindelöf). (Áp dụng exerc. 4 bằng cách lấy $A = Z \cap M$.)

d) Cho $Y_0$ là tập Y được trang bị tôpô cảm sinh bởi tôpô của I. Chứng minh rằng không gian tích $X \times Y_0$ không chuẩn dù $Y_0$ là mêtric hóa được. (Cho $\Delta$ là tập đóng trong $X \times Y_0$ tạo bởi các điểm $(x, x)$, trong đó $x \in Y$; $\Delta$ và tập đóng $M \times Y_0$ không có điểm chung. Chứng minh rằng mọi lân cận mở U của $\Delta$ trong $X \times Y_0$ nhất thiết giao với mọi lân cận mở của $M \times Y_0$. Để làm điều này, cho $W_n$ là tập các $x \in Y$ sao cho tập các $(x, y)$ với $y \in Y, |x - y| < 1/2n$, thuộc về V; các $W_n$ phủ Y. Sử dụng b), chứng minh rằng có một chỉ số k sao cho $\overline{W}_k$ giao với M; lấy $x \in \overline{W}_k \cap M, y \in Y$ sao cho $|x - y| < 1/2k$; chứng minh rằng mọi lân cận của $(x, y)$ trong $X \times Y_0$ giao với V).