Exercice 22, § 6

Soient $X, Y$ deux espaces métrisables, $f$ une application approchable (IX, p. 115, exerc. 22) de $X$ dans $Y$. Montrer que pour tout ensemble borélien $B \subset Y, f^{-1}(B)$ est approchable dans $X$ (cf. IX, p. 112, exerc. 6). En déduire que si $g$ est une application borélienne de $Y$ dans un espace métrisable $Z$, $g \circ f$ est approchable. Donner un exemple d’une application continue $f$ et d’une application approchable $g$ telles que $g \circ f$ ne soit pas approchable (cf. IX, p. 122, exerc. 14 b)).

Appendice I

1) Soit $X$ un espace discret non dénombrable, et soit $X'$ son compactifié d’Alexandroff. Montrer que $X'$ est un espace de Lindelöf dans lequel il y a des sous-espaces ouverts qui ne sont pas des espaces de Lindelöf.

App. 2

EXERCICES

TG IX.125

2) a) Montrer que le produit d’un espace de Lindelöf et d’un espace compact est un espace de Lindelöf (cf. I, p. 70, prop. 17).

b) Donner un exemple d’un espace de Lindelöf X dont tous les sous-espaces sont paracompacts et qui est tel que $X \times X$ ne soit pas un espace de Lindelöf (cf. IX, p. 113, exerc. 15).

3) Soit X l’espace obtenu en munissant $\mathbf{R}^2$ de la topologie engendrée par les ouverts de la topologie usuelle de $\mathbf{R}^2$ et le complémentaire dans $\mathbf{R}^2$ de la demi-droite ouverte formée des points $(0, y)$ tels que $y > 0$ (cf. I, p. 103, exerc. 20 c)). Montrer que X est un espace lusinien non régulier (pour voir que X est lusinien, considérer l’espace polonais somme du demi-plan fermé $y \leqslant 0$ et du demi-plan ouvert $y > 0$ dans $\mathbf{R}^2$).

4) Soient X un espace régulier, A une partie de X qui est un sous-espace de Lindelöf, et a en outre les propriétés suivantes : le sous-espace $X - A$ est paracompact, et tout voisinage de A dans X contient un voisinage de A fermé dans X. Montrer que X est alors paracompact. (Soit $\mathscr{R}$ un recouvrement ouvert de X, $\Sigma$ une partie dénombrable de $\mathscr{R}$ formant un recouvrement de A, U la réunion des ensembles de V, W un voisinage ouvert de A tel que $\overline{W} \subset U$. Utiliser le fait que $X - W$ paracompact, ainsi que les exerc. 25 de IX, p. 107 et 29 a) de IX, p. 108.)

5) a) Il existe dans l’intervalle $I = [0, 1]$ de $\mathbf{R}$ un sous-ensemble non dénombrable Y tel que toute partie compacte de I contenue dans Y soit dénombrable (IX, p. 114, exerc. 17 d)). Soient $X_0$ l’adhérence de Y dans I, X l’espace topologique obtenu en prenant pour ouverts dans X les ensembles $U \cup S$, où est ouvert pour la topologie induite sur $X_0$ par celle de I, et S une partie quelconque de Y. Montrer que X est régulier, et qu’il existe une base de la topologie de X telle que tout point de X n’appartienne qu’à une infinité dénombrable d’ensembles de cette base.

b) Montrer que tout ouvert V de X qui contient $M = X - Y$ a un complémentaire dénombrable dans X. En déduire que X n’est pas métrisable (M n’est pas intersection dénombrable d’ensembles ouverts), et que X est un espace de Lindelöf.

c) Montrer que tout sous-espace Z de X est paracompact (mais non nécessairement un espace de Lindelöf). (Appliquer l’exerc. 4 en prenant $A = Z \cap M$.)

d) Soit $Y_0$ l’ensemble Y muni de la topologie induite par celle de I. Montrer que l’espace produit $X \times Y_0$ n’est pas normal bien que $Y_0$ soit métrisable. (Soit $\Delta$ l’ensemble fermé dans $X \times Y_0$ formé des points $(x, x)$, où $x \in Y$; $\Delta$ et l’ensemble fermé $M \times Y_0$ sont sans point commun. Montrer que tout voisinage ouvert U de $\Delta$ dans $X \times Y_0$ rencontre nécessairement tout voisinage ouvert de $M \times Y_0$. Pour cela, soit $W_n$ l’ensemble des $x \in Y$ tels que l’ensemble des $(x, y)$ avec $y \in Y, |x - y| < 1/2n$, appartienne à V; les $W_n$ recouvrent Y. En utilisant b), montrer qu’il existe un indice k tel que $\overline{W}_k$ rencontre M; soient alors $x \in \overline{W}_k \cap M, y \in Y$ tel que $|x - y| < 1/2k$; montrer que tout voisinage de $(x, y)$ dans $X \times Y_0$ rencontre V).