Bài tập 3, § 6

a) Chứng minh rằng mọi không gian con hoàn toàn rời rạc của $\mathbf{R}$ đều không chiều.

b) Cho $K$ là tập tam phân của Cantor; mọi $x \in K$ có thể được viết duy nhất dưới dạng $x = \sum_{k} 2/3^{n_k}$, trong đó $(n_k)_{k \geq 1}$ là một dãy số nguyên tăng ngặt (hữu hạn hoặc vô hạn) $> 0$ (Chương IV, § 8, Bài tập 9); và định nghĩa $f(x)$ là số $\sum_{k} (-1)^{n_k}/2^k$. Cho $G$ là đồ thị của hàm $f$ trong $K \times \mathbf{R}$. Chứng minh rằng không gian mêtric $G$ là hoàn toàn rời rạc nhưng không không chiều. [Chú ý rằng giao của $\overline{G}$ và đường thẳng $\{0\} \times \mathbf{R}$ chứa một khoảng mở chứa điểm $(0, 0)$.]