Exercice 3, § 6

a) Tout espace séparé éparpillé est complètement régulier. Les espaces localement compacts non normaux définis dans IX, p. 103, exerc. 12 et IX, p. 113, exerc. 14, sont éparpillés. b) On dit qu’un espace topologique $X$ est fortement éparpillé si pour toute partie fermée $A$ de $X$ et tout voisinage $U$ de $A$, il existe un voisinage ouvert et fermé de $A$ contenu dans $U$. Tout espace séparé fortement éparpillé est normal. Tout espace compact totalement discontinu est fortement éparpillé. Pour qu’un espace normal $X$ soit fortement éparpillé, il faut et il suffit que son compactifié de Stone-Čech $\beta X$ (IX, p. 9) soit totalement discontinu (utiliser l’exerc. 23 b) de IX, p. 106). c) Soient $X$ un espace séparé fortement éparpillé, $(U_n)$ une suite croissante d’ensembles ouverts non vides dans $X$. Montrer qu’il existe une suite $(G_n)$ d’ensembles à la fois ouverts et fermés dans $X$, deux à deux sans point commun, tels que $G_n \subset U_n$ pour tout $n$, et $\bigcup_n G_n = \bigcup_n U_n$ (définir les $G_n$ par récurrence). Si en outre $X$ est parfaitement normal (IX, p. 103, exerc. 11), tout ensemble ouvert dans $X$ est réunion d’une famille dénombrable d’ensembles à la fois ouverts et fermés, deux à deux disjoints. d) Soit $X$ un espace normal, réunion d’une suite $(A_n)$ de sous-espaces fortement éparpillés. Montrer que $X$ est fortement éparpillé. (Soient $B, C$ deux ensembles fermés dans $X$ tels que $B \cap C = \varnothing$. Définir par récurrence deux suites croissantes $(G_n), (H_n)$ d’ensembles ouverts dans $X$ tels que $\overline{G}_n \cap \overline{H}_n = \varnothing, A_n \subset G_n \cup H_n$ et $B \cap A_n \subset G_n, C \cap A_n \subset H_n$).