Bài tập 6, § 6

a) Cho $J$ là không gian Polish $\mathbf{N}^\mathbf{N}$. Chứng minh rằng nếu $X$ là một không gian Souslin bất kỳ, thì có một ánh xạ toàn ánh liên tục từ $J$ lên $X$ [rút gọn về trường hợp $X$ là Polish và xét một phép sàng lọc của $X$ bởi một sàng $(C_n)$ trong đó mọi $C_n$ đều vô hạn].

b) Cho $X$ là một không gian mêtric. Chứng minh rằng nếu $A$ là một không gian con Souslin bất kỳ của $X$, thì có một tập con đóng $F$ của $J \times X$ sao cho $A = \mathrm{pr}_2(F)$ [sử dụng a)].

c) Cho $X$ là một không gian mêtric hóa được kiểu đếm được; cho $L = J \times X$ và cho $F$ là một tập con đóng của $J \times L$ sao cho với mỗi tập con đóng

M của L tồn tại $z \in J$ sao cho $F(z) = M$ [Bài tập 5 a)]. Chứng minh rằng, với mỗi không gian con Souslin S của X, tồn tại $z \in J$ sao cho $\mathrm{pr}_2(F(z)) = S$. Suy ra rằng, nếu $X = J$, tập T gồm tất cả các $z \in J$ sao cho $z \in \mathrm{pr}_2(F(z))$ là một tập Souslin, nhưng $J - T$ không phải là một tập Souslin [cùng lập luận như trong Bài tập 5 b)] (*).