Exercice 6, § 6

Soit X un espace métrisable. a) Montrer que l’ensemble des parties boréliennes de X est la plus petite partie $\mathscr{F}$ de $\mathfrak{P}(X)$ contenant les ensembles fermés de X et telle que toute réunion dénombrable et toute intersection dénombrable d’ensembles de $\mathscr{F}$ appartienne à $\mathscr{F}$. (Considérer le sous-ensemble $\mathfrak{G}$ de formé des $A \in \mathscr{F}$ tels que $X - A \in \mathscr{F}$). b) Montrer que l’ensemble des parties boréliennes de X est la plus petite partie $\mathscr{F}$ de $\mathfrak{P}(X)$ contenant les ensembles ouverts de X et telle que toute intersection dénombrable d’ensembles de $\mathscr{F}$ appartienne à $\mathscr{F}$, ainsi que toute réunion d’une suite d’ensembles de $\mathscr{F}$, deux à deux disjoints (même méthode). c) Tout ordinal $\alpha$ peut s’écrire d’une seule manière $\alpha = \omega \beta + n$, où $n < \omega$ (E, III, p. 77, exerc. 14); on dit que $\alpha$ est pair (resp. impair) si $n$ est pair (resp. impair). Pour tout ordinal dénombrable $\alpha$, on définit par récurrence transfinie les ensembles de parties $\mathfrak{F}_\alpha(X)$, $\mathfrak{G}_\alpha(X)$ (ou simplement $\mathfrak{F}_\alpha$, $\mathfrak{G}_\alpha$) comme suit: $\mathfrak{F}_0$ (resp. $\mathfrak{G}_0$) est l’ensemble des parties fermées (resp. ouvertes) de X; si $\alpha$ est pair et $> 0$, $\mathfrak{F}_\alpha$ (resp. $\mathfrak{G}_\alpha$) est l’ensemble des parties de X qui sont intersections dénombrables (resp. réunions dénombrables) de parties appartenant à $\bigcup_{\xi < \alpha} \mathfrak{F}_\xi$ (resp. à $\bigcup_{\xi < \alpha} \mathfrak{G}_\xi$); si $\alpha$ est impair, $\mathfrak{F}_\alpha$ (resp. $\mathfrak{G}_\alpha$) est l’ensemble des parties de X qui sont réunions dénombrables (resp. intersections dénombrables) de parties appartenant à $\bigcup_{\xi < \alpha} \mathfrak{F}_\xi$ (resp. à $\bigcup_{\xi < \alpha} \mathfrak{G}_\xi$). Montrer que la réunion des $\mathfrak{F}_\alpha$ (resp. des $\mathfrak{G}_\alpha$) est l’ensemble des parties boréliennes de X (utiliser a)). En déduire que si X est de type dénombrable, l’ensemble des parties boréliennes de X a une puissance au plus égale à la puissance du continu. d) La relation $A \in \mathfrak{F}_\alpha$ est équivalente à $\mathbf{C} A \in \mathfrak{G}_\alpha$. Toute réunion (resp. intersection) finie d’ensembles de $\mathfrak{F}_\alpha$ (resp. $\mathfrak{G}_\alpha$) appartient à $\mathfrak{F}_\alpha$ (resp. $\mathfrak{G}_\alpha$). On a $\mathfrak{F}_\alpha \subset \mathfrak{F}_{\alpha+1} \cap \mathfrak{G}_{\alpha+1}$ et $\mathfrak{G}_\alpha \subset \mathfrak{F}_{\alpha+1} \cap \mathfrak{G}_{\alpha+1}$ (raisonner par récurrence transfinie). e) Soit $f$ une application continue de X dans un espace métrisable Y. Montrer que

f) Si X et Y sont deux espaces métrisables, tout produit $A \times B$, où $A \in \mathfrak{F}_\alpha(X)$, $B \in \mathfrak{F}_\alpha(Y)$ (resp. $A \in \mathfrak{G}_\alpha(X)$, $B \in \mathfrak{G}_\alpha(Y)$) appartient à $\mathfrak{F}_\alpha(X \times Y)$ (resp. $\mathfrak{G}_\alpha(X \times Y)$). g) Soit $(X_n)$ une suite d’espaces métrisables. Montrer que si, pour tout $n$, $A_n$ est borélien dans $X_n$, alors $\prod_n A_n$ est borélien dans $\prod_n X_n$.

¹ On ignore si tout espace métrisable éparpillé est fortement éparpillé.

h) Soit $\alpha$ un ordinal dénombrable pair (resp. impair), et soit $(A_n)$ un recouvrement dénombrable de $X$ formé d’ensembles appartenant à $\mathfrak{G}_\alpha$ (resp. $\mathfrak{F}_\alpha$). Montrer qu’il existe une partition $(B_n)$ de $X$ telle que $B_n \subset A_n$ pour tout $n$ et que $B_n$ appartienne à $\mathfrak{F}_\alpha \cap \mathfrak{G}_\alpha$ (utiliser $d$).