Bài tập 7, § 6

a) Chứng minh rằng mọi không gian Polish chiều không đều đồng phôi với một không gian con đóng của tích $J = \mathbf{N}^\mathbf{N}$ (xét một phép sàng lọc ngặt của X bởi các tập vừa mở vừa đóng).

b) Cho X là một không gian Polish chiều không và cho Y là một không gian con trù mật của X không có điểm trong và là một giao đếm được của các tập mở trong X. Chứng minh rằng Y đồng phôi với J. (Chú ý rằng, trong một không gian chiều không mêtric hóa được, một tập mở nhưng không đóng là hợp của một dãy đếm được vô hạn các tập rời nhau từng đôi một vừa mở vừa đóng; sử dụng Định lý 1 của no. 1.) Suy ra rằng mọi không gian con trù mật của R, không có điểm trong và là một giao đếm được của các tập mở, đều đồng phôi với J (chú ý rằng một tập như vậy được chứa trong phần bù của một tập con trù mật đếm được D của R, và rằng $\mathbf{C}D$ là chiều không).

c) Nếu X là bất kỳ một không gian Polish chiều không không đếm được nào, tồn tại một phân hoạch của X thành một tập đếm được và một không gian con đồng phôi với J [sử dụng b) và Bài tập 11 của § 5].