Exercice 7, § 6

a) Soient $J$ l’espace polonais $\mathbf{N}^\mathbf{N}$ (où $\mathbf{N}$ est muni de la topologie discrète), $X$ un espace métrisable de type dénombrable. Montrer que pour tout ordinal dénombrable $\alpha$, il existe une partie $G_\alpha \subset J \times X$ telle que: $1^o$ $G_\alpha \in \mathfrak{G}_\alpha(J \times X)$ (exerc. 6); $2^o$ pour toute partie $U \in \mathfrak{G}_\alpha(X)$, il existe $z \in J$ tel que $G_\alpha(z) = U$. On pourra procéder comme suit, par récurrence transfinie: les espaces $J$ et $J^\mathbf{N}$ étant homéomorphes, soit $f$ un homéomorphisme de $J$ sur $J^\mathbf{N}$, et pour tout entier $n$, soit $f_n = \mathrm{pr}_n \circ f$. Si $(A_n)$ est une base dénombrable de $X$, contenant l’ensemble vide, on prend $G_0$ tel que $G_0(z) = \bigcup_n A_{f_n(z)}$ pour tout $z \in J$. Pour tout ordinal dénombrable $\alpha$, on prend $G_{\alpha+1}$ tel que $G_{\alpha+1}(z) = \bigcap_n G_\alpha(f_n(z))$ si $\alpha$ est pair, $G_{\alpha+1}(z) = \bigcup_n G_\alpha(f_n(z))$ si $\alpha$ est impair. Enfin, si $\alpha$ n’a pas de prédécesseur et si $(\lambda_n)$ est une suite croissante d’ordinaux telle que $\alpha = \sup_n \lambda_n$, on prend $G_\alpha$ tel que $G_\alpha(z) = \bigcup_n G_{\lambda_n}(f_n(z))$. On utilisera le fait que $f_n$ est continue dans $J$.

b) On prend en particulier $X = J$. Montrer que l’ensemble $\mathrm{pr}_1(G_\alpha \cap \Delta)$, où $\Delta$ est la diagonale de $J \times J$, appartient à $\mathfrak{G}_\alpha(J)$, mais non à $\mathfrak{F}_\alpha(J)$ (raisonner par l’absurde en utilisant $a$).