Bài tập 8, § 6

Cho X là một không gian Souslin và cho f là một ánh xạ liên tục của X vào một không gian Hausdorff Y. Chứng minh rằng nếu $f(X)$ là không đếm được, tồn tại một không gian con A của X đồng phôi với tập tam phân Cantor K (Chương IV, § 2, no. 5) sao cho $f|A$ là đơn ánh. [Rút gọn về trường hợp X là một không gian mêtric đầy đủ: chứng minh rằng tồn tại một sàng $C = (C_n, p_n)$ sao cho, với mỗi n, $C_n$ có $2^n$ phần tử, và tồn tại với mỗi n một ánh xạ $\varphi_n$ của $C_n$ vào tập hợp tất cả các tập con đóng không rỗng có đường kính $\leq 2^{-n}$ trong X, sao cho (i) $\varphi_{n+1}(c) \subset \varphi_n(p_n(c))$ với mọi $c \in C_{n+1}$; (ii) bất cứ khi nào c và $c'$ là các phần tử phân biệt của $C_n$, $f(\varphi_n(c))$ và $f(\varphi_n(c'))$ rời nhau. Sử dụng § 5, Bài tập 11.] Đặc biệt, mọi không gian Souslin không đếm được chứa một không gian con đồng phôi với K và do đó có lũy thừa của continuum.