Exercice 8, § 6

a) Soit $J$ l’espace polonais $\mathbf{N}^\mathbf{N}$; montrer que pour tout espace souslinien $X$, il existe une application continue surjective de $J$ sur $X$ (se ramener au cas où $X$ est polonais et considérer un criblage de $X$ par un crible $(C_n)$ où tous les $C_n$ sont infinis).

b) Soit $X$ un espace métrisable; montrer que pour tout sous-espace souslinien $A$ de $X$, il existe une partie fermée $F$ de $J \times X$ telle que $A = \mathrm{pr}_2(F)$ (utiliser $a$).

c) Soit $X$ un espace métrisable de type dénombrable; soient $L$ l’espace $J \times X$, $F$ une partie fermée de $J \times L$ telle que, pour toute partie fermée $M$ de $L$, il existe $z \in J$ pour lequel $F(z) = M$ (exerc. 7 a)). Montrer que pour tout sous-espace souslinien $S$ de $X$, il existe $z \in J$ tel que $\mathrm{pr}_2(F(z)) = S$. En déduire que, si $X = J$, l’ensemble $T$ des $z \in J$ tels que $z \in \mathrm{pr}_2(F(z))$ est souslinien, mais que $J - T$ n’est pas souslinien (même raisonnement que dans l’exerc. 7 b)).¹