Bài tập 9, § 6

a) Cho X là một không gian Polish, và cho R là một quan hệ tương đương trên X. Chứng minh rằng tồn tại một tập con của X là một giao đếm được của các tập mở và gặp mỗi lớp tương đương đúng tại một điểm, với điều kiện một trong hai giả thiết sau được thỏa mãn:

α) R đóng; β) X compact địa phương và đồ thị của R đóng trong $X \times X$.

[Đối với α), theo phương pháp của chứng minh Định lý 4 của no. 8, sử dụng nhận xét sau: Nếu $(G_n)$ là một dãy các tập, mỗi tập trong đó là một giao đếm được của các tập mở, và nếu với mỗi $n$ tồn tại một lân cận $V_n$ của $G_n$ sao cho họ $(V_n)$ là hữu hạn địa phương, thì $\bigcup_n G_n$ là một giao đếm được của các tập mở. Cùng phương pháp cho β); chú ý rằng bao bão hòa của một tập compact bây giờ là đóng (xem Chương I, § 10, Bài tập 16).]

b) Cho X là một không gian Polish, cho R là một quan hệ tương đương trên X vừa mở vừa đóng, và cho $\varphi : X \to X/R$ là ánh xạ chính tắc. Chứng minh rằng tồn tại một tập con A của X là một giao đếm được của các tập mở trong X và sao cho hạn chế của $\varphi$ trên A là một đồng phôi của A lên $\varphi(A)$ và sao cho $\varphi(A)$ là trù mật trong $X/R$ và là một giao đếm được của các tập mở. [Với ký hiệu của chứng minh Định lý 4 của no. 8, chứng minh rằng ta có thể giả sử rằng với mỗi $n$ các $\varphi_n(c)$ đã được xác định sao cho ảnh theo $\varphi$ của hợp các phần trong của các $h_n(c)$, khi c chạy qua $C_n$, là trù mật trong $X/R$; sử dụng a) và Định lý 1 của no. 1.]

c) Chứng minh rằng kết luận của b) vẫn đúng khi X compact địa phương và có một cơ sở đếm được và R là một quan hệ tương đương đóng trên X mà mọi lớp tương đương của nó đều compact. [Rút gọn về trường hợp b) bằng cách sử dụng § 5, Bài tập 26.]