Exercice 9, § 6

a) Montrer que tout espace polonais éparpillé $X$ est homéomorphe à un sous-espace fermé de l’espace produit $J = \mathbf{N}^\mathbf{N}$ (considérer un criblage strict de $X$ par des ensembles à la fois ouverts et fermés).

b) Dans un espace polonais éparpillé $X$, soit $Y$ un sous-espace partout dense, sans point intérieur et intersection dénombrable d’ensembles ouverts dans $X$. Montrer que $Y$ est homéomorphe à $J$. (Remarquer que dans un espace métrisable éparpillé un ensemble ouvert non fermé est réunion d’une suite infinie dénombrable d’ensembles à la fois ouverts et fermés, deux à deux disjoints; utiliser le th. 1 de IX, p. 58). En déduire que dans $\mathbf{R}$ tout sous-espace partout dense, sans point intérieur et intersection dénombrable d’ensembles ouverts, est homéomorphe à $J$ (remarquer qu’un tel ensemble est contenu dans le complémentaire d’une partie dénombrable partout dense $D$ de $\mathbf{R}$, et que $\complement D$ est éparpillé).

c) Pour tout espace polonais éparpillé $X$ non dénombrable, il existe une partition de $X$ en un ensemble dénombrable et un sous-espace homéomorphe à $J$ (Utiliser $b$) et I, p. 108, exerc. 17).