Bài tập 1, § 1

\* a) Cho $f$ là một đồng cấu của nhóm cộng $\mathbf{R}$ vào chính nó. Chứng minh rằng, nếu đồ thị của $f$ không trù mật trong $\mathbf{R}^2$, thì $f$ có dạng $x \to ax$ [xét bao đóng trong $\mathbf{R}^2$ của đồ thị của $f$, và sử dụng định lý cấu trúc cho các nhóm con đóng của $\mathbf{R}^2$ (Chương VII, § 1, no. 2, Định lý 2)]. \* [So sánh với Chương VI, § 1, Bài tập 12 b) và Chương IV, § 6, Bài tập 2.]

b) Nếu đồ thị của $f$ trù mật trong $\mathbf{R}^2$, ảnh ngược của tôpô của $\mathbf{R}^2$ qua ánh xạ $x \to (x, f(x))$ là tương thích với cấu trúc nhóm của $\mathbf{R}$ và mịn hơn nghiêm ngặt so với tôpô thông thường của $\mathbf{R}$. Nếu hơn nữa $f$ là đơn ánh, ảnh ngược qua $f$ của tôpô thông thường của $\mathbf{R}$ là tương thích với cấu trúc nhóm của $\mathbf{R}$ và không so sánh được với tôpô thông thường của $\mathbf{R}$.