Exercice 1, § 1

a) Soit $f$ un homomorphisme du groupe additif $\mathbf{R}$ dans lui-même. Montrer que si le graphe de $f$ n’est pas dense dans $\mathbf{R}^2$, $f$ est de la forme $x \mapsto ax$ (considérer dans $\mathbf{R}^2$ l’adhérence du graphe de $f$, et utiliser le théorème de structure des sous-groupes fermés de $\mathbf{R}^2$ (VII, p. 5, th. 2)). (Comparer exerc. 12b) et à IV, p. 55, exerc. 2.)

b) Si le graphe de $f$ est dense dans $\mathbf{R}^2$, l’image réciproque de la topologie de $\mathbf{R}^2$ par l’application $x \mapsto (x, f(x))$ est compatible avec la structure de groupe de $\mathbf{R}$ et strictement plus fine que la topologie usuelle de $\mathbf{R}$. Si en outre $f$ est injective, l’image réciproque par $f$ de la topologie usuelle de $\mathbf{R}$ est compatible avec la structure de groupe de $\mathbf{R}$ et n’est pas comparable à la topologie usuelle de $\mathbf{R}$.