Bài tập 2, § 4

Tô pô đại cương, VIII

Cho $K$ là một vành chia tôpô Hausdorff không rời rạc (hoặc trường).

a) Cho $E$ là một không gian vectơ trái có chiều $n$ trên $K$ . Nếu $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một cơ sở của $E$ , và nếu ta chuyển vào $E$ tôpô của $K^n$ (tích của các tôpô của các thừa số) bằng ánh xạ tuyến tính song ánh

(x_i) \mapsto \sum_{i=1}^n x_i a_i,

thì tôpô được xác định trên $E$ như vậy không phụ thuộc vào cơ sở $(a_i)$ đã chọn, tương thích với cấu trúc nhóm cộng của $E$ , và sao cho ánh xạ $(t, x) \to tx$ từ $K \times E$ vào $E$ là liên tục. Nếu $F$ là một không gian con vectơ của $E$ , tôpô cảm sinh trên $F$ bởi tôpô của $E$ là cùng một tôpô với tôpô được xác định trên $F$ bằng cách bắt đầu từ một cơ sở tùy ý của $F$ , như trên; $F$ là đóng trong $E$ , và $\mathbf{C}F$ là trù mật trong $E$ trừ khi $F = E$ .

b) Tổng quát hóa các Mệnh đề 4, 5 và 6 của Chương VI, § 1 cho vành chia $K$ . (Để chứng minh rằng ánh xạ $X \to X^{-1}$ là liên tục trong lân cận của mọi ma trận bình phương không suy biến cấp $n$ trên $K$ , khi $K$ không giao hoán, dùng quy nạp theo $n$ : xét một lân cận của ma trận khả nghịch đơn vị $I_n$ cấp $n$ , chú ý rằng mọi ma trận $X$ đủ gần $I_n$ có thể được viết dưới dạng

\begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \lambda_2 & & & \\ \vdots & & I_{n-1} & \\ \lambda_n & & & \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ 0 & & & \\ \vdots & & \gamma & \\ 0 & & & \end{pmatrix},

trong đó $I_{n-1}$ là ma trận khả nghịch đơn vị cấp $n - 1$ và $\gamma$ là một ma trận không suy biến cấp $n - 1$ .)

c) Nếu $K$ là giao hoán và $E$ là một đại số hạng $n$ trên $K$ , thì tôpô của $E$ tương thích với cấu trúc vành của nó. Hơn nữa, nếu $E$ có một phần tử đơn vị, thì nhóm $G$ các phần tử khả nghịch của $E$ là mở và trù mật trong $E$ , và tôpô cảm sinh trên $G$ bởi tôpô của $E$ tương thích với cấu trúc nhóm của $G$ . (Nếu $e$ là phần tử đơn vị của $E$ , và nếu $x$ là một phần tử khả nghịch của $E$ , thì mỗi phương trình $xy = e, yx = e$ có một và chỉ một nghiệm $y$ ; đối với mỗi phương trình này, xét hệ tương đương gồm $n$ phương trình tuyến tính cho các thành phần của $y$ đối với một cơ sở của $E$ .)

d) Nếu $K$ là một trường không đầy đủ và $E$ là một đại số hạng $n$ trên $K$ , và nếu phần đầy đủ $\hat{K}$ của $K$ là một trường, thì phần đầy đủ $\hat{E}$ của đại số $E$ là đại số thu được bằng cách mở rộng vành các toán tử của $E$ đến $\hat{K}$ . Do đó hãy xây dựng các ví dụ về một vành chia tôpô mà phần đầy đủ của nó không phải là một vành chia.

Solution

No solution has been written yet.