Exercice 2, § 4

Soit $K$ un corps topologique séparé non discret (commutatif ou non). a) Soit E un espace vectoriel à gauche de dimension $n$ sur K. Si $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ est une base de E, et si on transporte à E, par l’application linéaire bijective $(x_i) \mapsto \sum_{i=1}^n x_i a_i$, la topologie de $K^n$ (produit des topologies de ses facteurs), la topologie ainsi définie sur E est indépendante de la base $(a_i)$ considérée, est compatible avec la structure de groupe additif de E, et telle que l’application $(t, x) \mapsto t x$ de $K \times E$ dans E soit continue. Si F est un sous-espace vectoriel de E, la topologie induite sur F par celle de E est identique à la topologie définie à partir d’une base quelconque de F par le procédé précédent; F est fermé dans E, et si $F \neq E$, $\mathbf{C} F$ est partout dense dans E. b) Généraliser au corps K les prop. 5 et 6 (pour montrer que l’application $X \mapsto X^{-1}$ est continue au voisinage de toute matrice carrée inversible d’ordre $n$ sur K, lorsque K n’est pas commutatif, raisonner par récurrence sur $n$: en se bornant au voisinage de la matrice unité $I_n$ d’ordre $n$, remarquer que toute matrice $X$ assez voisine de $I_n$ se met sous la forme

où $I_{n-1}$ est la matrice unité d’ordre $n-1$ et $Y$ une matrice inversible d’ordre $n-1$.

c) Si K est commutatif, et E une algèbre de rang n sur K, la topologie de E est compatible avec sa structure d’anneau. En outre, si E admet un élément unité, le groupe G des éléments inversibles de E est ouvert et partout dense dans E, et la topologie induite sur G par celle de E est compatible avec la structure de groupe de G (si e est l’élément unité de E, x un élément inversible de E, chacune des équations en y, xy = e, yx = e admet une solution et une seule; considérer pour chacune de ces équations le système de n équations linéaires donnant les composantes de y par rapport à une base de E, auquel cette équation est équivalente).

d) Si K est un corps commutatif non complet, E une algèbre de rang n sur K, et si le complété $\hat{K}$ de K est un corps, la complétée $\hat{E}$ de l’algèbre E est l’algèbre obtenue par extension à $\hat{K}$ de l’anneau d’opérateurs de E (A, III, p. 7); en déduire des exemples de corps topologiques dont le complété n’est pas un corps.