Bài tập 3, § 1

(a) Cho $H$ là một không gian Hilbert có một cơ sở trực chuẩn đếm được $(e_0, e_1, e_2, . . .)$, và $A =\mathscr{L}(H)$. Cho $u\in \mathscr{L}(H)$ sao cho $u(e_i) =e_{i+1}$ với mọi $i$. Cho $u'\in \mathscr{L}(H)$ sao cho $u'(e_i) =e_{i-1}$ với $i\geqslant 1$ và $u'(e_0) = 0$. Ta có $u'u= 1$, nhưng $uu'(e_0) = 0$, vì vậy Sp$_A(u'u)\not=$ Sp$_A(uu')$.

(b) Cho A là một đại số có đơn vị Noether trên một trường giao hoán. Nếu $x, y\in A$, ta có Sp$_A(xy) =$ Sp$_A(yx)$ (sử dụng bài tập 6 của A, VIII, p. 37).