Exercice 3, § 1

a) Soient H un espace hilbertien admettant une base orthonormale dénombrable $(e_0, e_1, e_2, . . .)$, et $A =\mathscr{L}(H)$. Soit $u\in \mathscr{L}(H)$ tel que $u(e_i) =e_{i+1}$ pour tout $i$. Soit $u'\in \mathscr{L}(H)$ tel que $u'(e_i) =e_{i-1}$ pour $i\geqslant 1$ et $u'(e_0) = 0$. On a $u'u= 1$, mais $uu'(e_0) = 0$, de sorte que Sp$_A(u'u)\not=$ Sp$_A(uu')$.

b) Soit A une algèbre unifère noethérienne sur un corps commutatif. Si $x, y\in A$, on a Sp$_A(xy) =$ Sp$_A(yx)$ (utiliser l’exerc. 6 de A, VIII, p. 37).