Bài tập 8, § 1

Cho A là một đại số, I là một iđêan hai phía của A, $J^I(A)$ là tập hợp các iđêan nguyên thủy của A không chứa I, và $\widehat{A}^I$ là tập hợp các biểu diễn bất khả quy $\pi \in \widehat{A}$ sao cho $\pi (I)\not= 0$.

a) Nếu $\pi \in \widehat{A}^I$, ta có $\pi |I\in \widehat{I}$ (bổ đề 5, a) của I, p. 12). Nếu các biểu diễn $\pi$ và $\pi '\in \widehat{A}$ sao cho $\pi |I$ và $\pi '|I$ tương đương, thì $\pi$ và $\pi '$ tương đương. (Ta có thể giả sử rằng $\pi (x) =\pi '(x)$ với mọi $x\in I$. Khi đó, với mọi $y\in A,\pi (y)$ và $\pi '(y)$ trùng nhau trên $\sum_{x\in I}$ Im$\pi (x)$, và không gian con này bằng không gian của $\pi .$)

b) Nếu $\pi \in \widehat{I},\pi$ mở rộng được thành một phần tử của $\widehat{A}^I$. (Gọi R là một iđêan trái chính quy cực đại của I. Gọi $g$ là một phần tử khả nghịch phải của I modulo R. Giả sử rằng A có một phần tử đơn vị, hãy chứng minh rằng quan hệ AR $+ A(1-g) = A$ sẽ suy ra rằng $g^2\in R$. Do đó AR $+ A(1-g)$ được chứa trong một iđêan trái cực đại M của A. Chứng minh rằng $M\cap I = R$ và M + I = A.)

c) Suy ra từ a) và b) rằng ánh xạ $I'\mapsto I'\cap I$ là một phép đồng phôi của $J^I(A)$ lên J(I), và rằng ánh xạ $\pi \mapsto \pi |I$ là một phép đồng phôi của $\widehat{A}^I$ lên $\widehat{I}$.