Exercice 8, § 1

Soient A une algèbre, I un idéal bilatère de A, $J^I(A)$ l’ensemble des idéaux primitifs de A qui ne contiennent pas I, et $\widehat{A}^I$ l’ensemble des représentations irréductibles $\pi \in \widehat{A}$ telles que $\pi (I)\not= 0$.

a) Si $\pi \in \widehat{A}^I$, on a $\pi |I\in \widehat{I}$ (lemme 5, a) de I, p. 12). Si des représentations $\pi$ et $\pi '\in \widehat{A}$ sont telles que $\pi |I$ et $\pi '|I$ sont équivalentes, alors $\pi$ et $\pi '$ sont équivalentes. (On peut supposer que $\pi (x) =\pi '(x)$ pour tout $x\in I$. Alors, pour tout $y\in A,\pi (y)$ et $\pi '(y)$ coïncident sur $\sum_{x\in I}$ Im$\pi (x)$, et ce sous-espace est égal à l’espace de $\pi .$)

b) Si $\pi \in \widehat{I},\pi$ se prolonge en un élément de $\widehat{A}^I$. (Soit R un idéal à gauche maximal régulier de I. Soit $g$ une unité à droite de I modulo R. Supposant que A admet un élément unité, montrer que la relation AR $+ A(1-g) = A$ entraînerait $g^2\in R$. Donc AR $+ A(1-g)$ est contenu dans un idéal à gauche maximal M de A. Démontrer que $M\cap I = R$ et M + I = A.)

c) Déduire de a) et b) que l’application $I'\mapsto I'\cap I$ est un homéomorphisme de $J^I(A)$ sur J(I), et que l’application $\pi \mapsto \pi |I$ est un homéomorphisme de $\widehat{A}^I$ sur $\widehat{I}$.