Bài tập 10, § 3

Cho $A$ là một đại số Banach giao hoán và cho $D$ là một đạo hàm liên tục của $A$ vào $A$, nghĩa là một ánh xạ tuyến tính liên tục của $A$ vào $A$ sao cho $D(ab) = (Da)b+a(Db)$ với $a, b\in A$.

a) Với mọi $\chi \in \mathsf{X}'(A)$ và mọi $\lambda \in \mathbf{C}$, chuỗi

$\infty n$

$\varphi_{\lambda}(a) =\sum\lambda n$! $\chi (D^n(a))$

$n=0$

hội tụ$;\lambda \mapsto \varphi_{\lambda}(a)$ là một hàm nguyên, và $a\mapsto \varphi_{\lambda}(a)$ là một đặc trưng của A.

b) Số $\varphi_{\lambda}(a)$ độc lập với $\lambda$. (Nhận xét rằng $|\varphi_{\lambda}(a)|\leqslant \|a\|$ theo a).) Do đó $\chi (D(a)) = 0$.

c) Ảnh của D được chứa trong căn của A. Suy ra một chứng minh mới của mệnh đề f ) của Bài tập 31 của I, p. 162.