Exercice 10, § 3

Soient A une algèbre de Banach commutative et D une dérivation continue de A dans A, c’est-à dire une application linéaire continue de A dans A telle que $D(ab) = (Da)b+a(Db)$ pour $a, b\in A$.

a) Pour tout $\chi \in \mathsf{X}'(A)$ et tout $\lambda \in \mathbf{C}$, la série

$\infty n$

$\varphi_{\lambda}(a) =\sum\lambda n$! $\chi (D^n(a))$

$n=0$

converge$;\lambda \mapsto \varphi_{\lambda}(a)$ est une fonction entière, et $a\mapsto \varphi_{\lambda}(a)$ est un caractère de A.

b) Le nombre $\varphi_{\lambda}(a)$ est indépendant de $\lambda$. (Observer que $|\varphi_{\lambda}(a)|\leqslant \|a\|$ d’après a).) Donc $\chi (D(a)) = 0$.

c) L’image de D est contenue dans le radical de A. En déduire une nouvelle démonstration de l’assertion f ) de l’exerc. 31 de I, p. 162.