Bài tập 11, § 3

Cho B là đại số trên $\mathbf{C}$ của các hàm khả vi vô hạn lần từ $[0,1]$ vào $\mathbf{C}$.

(a) Cho A là một đại số con của B, được trang bị một chuẩn khiến A là một đại số Banach. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một dãy $(m_n)_{n\geqslant 0}$ trong $\mathbf{R}_+$ sao cho, với mọi $x\in A$, ta có

sup$_{0\leqslant t\leqslant 1}|x^{(n)}(t)|= O(m_n)$.

(Cho $B_n$ là đại số Banach của các hàm khả vi liên tục $n$ lần trên $[0,1]$. Theo mệnh đề 9 của I, p. 40, đơn ánh chính tắc $A\rightarrow B_n$ là liên tục; gọi $M_n$ là chuẩn của nó; nếu $x\in A$, ta có sup$_{0\leqslant t\leqslant 1}|x^{(n)}(t)|\leqslant n$!M$_n\|x\|.$)

(b) Không tồn tại chuẩn nào trên B khiến nó là một đại số Banach.