Exercice 11, § 3

Soit B l’algèbre sur $\mathbf{C}$ des fonctions indéfiniment dérivables de $[0,1]$ dans $\mathbf{C}$.

a) Soit A une sous-algèbre de B, munie d’une norme faisant de A une algèbre de Banach. Montrer qu’il existe une suite $(m_n)_{n\geqslant 0}$ dans $\mathbf{R}_+$ telle que, pour tout $x\in A$, on ait

sup$_{0\leqslant t\leqslant 1}|x^{(n)}(t)|= O(m_n)$.

(Soit $B_n$ l’algèbre de Banach des fonctions $n$ fois continûment dérivables sur $[0,1]$. D’après la prop. 9 de I, p. 40, l’injection canonique $A\rightarrow B_n$ est continue ; soit $M_n$ sa norme ; si $x\in A$, on a sup$_{0\leqslant t\leqslant 1}|x^{(n)}(t)|\leqslant n$!M$_n\|x\|.$)

b) Il n’existe sur B aucune norme qui en fasse une algèbre de Banach.