Bài tập 13, § 3

Cho A là đại số Banach $\ell^2(\mathbf{N})$ (Bài tập 3). Cho $A_0$ là đại số con tạo bởi các dãy có giá hữu hạn. Cho B là tổng trực tiếp của $A_0$ và $\mathbf{C}$, được trang bị phép nhân $(f, \alpha )(g, \beta ) = (f g,0)$ với $f, g\in A_0,\alpha , \beta \in \mathbf{C}$, và với chuẩn

$\|(f, \alpha )\|=$ sup$(\|f\|,|\alpha -\sum_nf(n)|)$.

a) Đại số hoàn thành $\widehat{B}$ là một đại số Banach giao hoán mà căn R của nó là $\mathbf{C}\cdot (0,1)$, và $\widehat{B}/R$ là đẳng cấu đẳng cự với A.

b) Cho $\pi :\widehat{B}\rightarrow \widehat{B}/R$ là cấu xạ chính tắc. Không tồn tại đại số con $B_1$ của $\widehat{B}$ phụ với R sao cho $\pi |B_1: B_1\rightarrow \widehat{B}/R = A$ là một đồng phôi. (Giả sử $B_1$ là một đại số con như vậy. Cho $u_n\in A$ sao cho $u_n(n) = 1,u_n(m) = 0$ với $m\not=n$. Cho $e_n\in B_1$ sao cho $\pi (e_n) =u_n$. Bây giờ chứng minh

$\infty \infty$

1 1

rằng $e_n\in A_0$, rằng $\sum u_n$ hội tụ trong A nhưng $\sum e_n$ không hội tụ

$n=1n=1$

trong $\widehat{B}$.)