Exercice 13, § 3

Soit A l’algèbre de Banach $\ell^2(\mathbf{N})$ (exerc. 3). Soit $A_0$ la sous-algèbre formée par les suites de support fini. Soit B la somme directe de $A_0$ et de $\mathbf{C}$, munie de la multiplication $(f, \alpha )(g, \beta ) = (f g,0)$ pour $f, g\in A_0,\alpha , \beta \in \mathbf{C}$, et de la norme

$\|(f, \alpha )\|=$ sup$(\|f\|,|\alpha -\sum_nf(n)|)$.

a) L’algèbre complétée $\widehat{B}$ est une algèbre de Banach commutative dont le radical R est $\mathbf{C}\cdot (0,1)$, et $\widehat{B}/R$ est isométriquement isomorphe à A.

b) Soit $\pi :\widehat{B}\rightarrow \widehat{B}/R$ le morphisme canonique. Il n’existe aucune sous-algèbre $B_1$ de $\widehat{B}$ supplémentaire de R telle que $\pi |B_1: B_1\rightarrow \widehat{B}/R = A$ soit un homéomorphisme. (Soit $B_1$ une telle sous-algèbre. Soit $u_n\in A$ tel que $u_n(n) = 1,u_n(m) = 0$ pour $m\not=n$. Soit $e_n\in B_1$ tel que $\pi (e_n) =u_n$. Montrer

$\infty \infty$

1 1

que $e_n\in A_0$, que $\sum u_n$ converge dans A mais que $\sum e_n$ ne converge

$n=1n=1$

pas dans $\widehat{B}.)$